Um solenoide tem 300 voltas enroladas em torno de um cilindro de 1,20 c m de diâmetro e 14,0 c m de comprimento. Se a corrente através das bobinas é de 0,410 A, qual é o módulo do campo magnético perto do eixo central do solenoide?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual é o módulo do campo magnético perto do eixo central do solenoide?”\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
N=300 (número de voltas) \n
d=1{,}20\\ \text{cm} (diâmetro do cilindro) — vou converter para metros quando necessário \n
L=14{,}0\\ \text{cm} (comprimento do solenoide) \n
I=0{,}410\\ \text{A} (corrente nas bobinas) \n
Observação: o enunciado pede o módulo do campo magnético próximo ao eixo central do solenoide, ou seja, o campo no interior, perto do centro axial.

Passo 2

Qual fórmula usamos e por quê? Vou explicar passo a passo.\n
Para um solenoide longo (comprimento bem maior que o diâmetro), o campo magnético próximo ao eixo central é praticamente uniforme e dado pela fórmula
B=\mu_0\,n\,I
onde:\n
\mu_0 é a permeabilidade do vácuo, \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \text{T}\cdot\text{m/A}. Vou explicar: \mu_0 é uma constante física que relaciona correntes elétricas com campos magnéticos no vácuo.\n
n é o número de voltas por unidade de comprimento do solenoide, ou seja, n=\dfrac{N}{L} com unidade \text{m}^{-1}.\n
I é a corrente em ampères.\n
Por que essa fórmula? Uma maneira simples de ver é aplicar a Lei de Ampère a um caminho que percorre o interior do solenoide: a integral \oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell} sobre um retângulo que inclui o interior dá B\cdot L=\mu_0 I_\text{enc}. A corrente total atravessada pelo laço é o número de espiras dentro do comprimento L vezes I, i.e. N_\text{enc}I=(nL)I. Cancelando L vem B=\mu_0 n I. Isso basta para usar a fórmula com segurança aqui.

Passo 3

Converter unidades e calcular n.\n
Converter comprimento para metros:\n
L=14{,}0\\ \text{cm}=0{,}140\\ \text{m}\n
(não precisamos usar o diâmetro para o cálculo do campo central, mas como checagem: d=1{,}20\\ \text{cm}=0{,}0120\\ \text{m}; a razão L/d\approx11{,}7 mostra que o solenoide é suficientemente “longo” para a aproximação ser válida).\n
Calcular n:\n
n=\frac{N}{L}=\frac{300}{0{,}140}\\ \text{m}^{-1}=2142{,}857142857143\\ \text{m}^{-1}
Arredondando para uso prático, n\approx2143\\ \text{m}^{-1}.

Passo 4

Avaliar a constante \mu_0 e montar a conta.\n
\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \text{T}\cdot\text{m/A}\approx1{,}25663706\times10^{-6}\\ \text{T}\cdot\text{m/A}.\n
Aplicando a fórmula \;B=\mu_0 n I\;: primeiro calculo \mu_0 n, depois multiplico por I.\n
Calcular \mu_0 n:\n
\mu_0 n \approx (1{,}25663706\times10^{-6})\times(2142{,}857142857143)\approx0{,}00269204\\ \text{T/A}.\n
Agora multiplico por I=0{,}410\\ \text{A}:\n
B=(0{,}00269204)\times(0{,}410)\\ \text{T}\approx0{,}00110374\\ \text{T}.

Passo 5

Interpretar o resultado e arredondar de forma adequada.\n
O valor obtido é B\approx0{,}00110374\\ \text{T}. Em unidades mais amigáveis, isso é cerca de 1{,}10\times10^{-3}\\ \text{T} ou 1{,}10\\ \text{mT}.\n
Dado os dados iniciais com três algarismos significativos (por exemplo I=0{,}410\\ \text{A}), é razoável dar B com três algarismos significativos: 1{,}10\times10^{-3}\\ \text{T}.

Resposta

1{,}10\times10^{-3}\\ \text{T}

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