2.12 A densidade volumétrica de carga \rho_{v}=\rho_{0} e^{-|\lambda|+|\lambda|-\mid d} existe em todo o espaço livre. Calcule a carga total presente.

Passo 1

O enunciado dá a densidade volumétrica de carga presente em todo o espaço livre. Vou interpretar a expressão como
\rho_v(\,x,y,z\,)=\rho_0 e^{-(|x|+|y|+|z|)}.
A pergunta é: calcular a carga total presente no espaço, isto é, calcular
Q=\text{(carga total)}=\iiint_{\mathbb{R}^3}\rho_v(\,x,y,z\,)\,dV.
As informações relevantes: a densidade é conhecida para todo (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 e envolve exponenciais com valores absolutos nas três coordenadas; \rho_0 é uma constante (densidade de referência).

Passo 2

Escrevemos a carga total como integral tripla sobre todo o espaço. Usamos dV=dx\,dy\,dz:
Q=\iiint_{\mathbb{R}^3}\rho_0 e^{-(|x|+|y|+|z|)}\,dx\,dy\,dz.
Uma propriedade útil do exponencial é que a soma no expoente vira produto:
e^{-(|x|+|y|+|z|)}=e^{-|x|}\,e^{-|y|}\,e^{-|z|}.
Como os fatores dependem cada um de uma só variável, a integral tripla fatoriza em produto de integrais unidimensionais:
Q=\rho_0\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|}dx\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|y|}dy\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|z|}dz\right).
Por simetria as três integrais são iguais, então basta calcular uma e elevar ao cubo.

Passo 3

Calculemos a integral unidimensional
I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|}dx.
Para integrar funções com valor absoluto, é padrão dividir a integral em duas partes em torno de 0. Para x<0 temos |x|=-x, e para x>0 temos |x|=x. Logo
I=\int_{-\infty}^{0}e^{-|x|}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-|x|}dx =\int_{-\infty}^{0}e^{x}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx.
Agora calculamos cada parcela passo a passo.

Passo 4

Calcule a primeira parcela:
\int_{-\infty}^{0}e^{x}dx=\bigl[e^{x}\bigr]_{x=-\infty}^{x=0}=e^{0}-\lim_{x\to-\infty}e^{x}=1-0=1.
Calcule a segunda parcela:
\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx=\bigl[-e^{-x}\bigr]_{x=0}^{x=\infty}=\left(0\right)-\left(-e^{0}\right)=1.
Somando as duas parcelas obtemos
I=1+1=2.

Passo 5

Voltando à carga total, como cada integral unidimensional vale 2, temos
Q=\rho_0\cdot I^3=\rho_0\cdot 2^3=\rho_0\cdot 8.
Portanto a carga total é finita e igual a 8\rho_0.

Resposta

Q=8\rho_0

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