2.12 A densidade volumétrica de carga
existe em todo o espaço livre. Calcule a carga total presente.
Passo 1
O enunciado dá a densidade volumétrica de carga presente em todo o espaço livre. Vou interpretar a expressão como
A pergunta é: calcular a carga total presente no espaço, isto é, calcular
As informações relevantes: a densidade é conhecida para todo
e envolve exponenciais com valores absolutos nas três coordenadas;
é uma constante (densidade de referência).
Passo 2
Escrevemos a carga total como integral tripla sobre todo o espaço. Usamos
:
Uma propriedade útil do exponencial é que a soma no expoente vira produto:
Como os fatores dependem cada um de uma só variável, a integral tripla fatoriza em produto de integrais unidimensionais:
Por simetria as três integrais são iguais, então basta calcular uma e elevar ao cubo.
Passo 3
Calculemos a integral unidimensional
Para integrar funções com valor absoluto, é padrão dividir a integral em duas partes em torno de
. Para
temos
, e para
temos
. Logo
Agora calculamos cada parcela passo a passo.
Passo 4
Calcule a primeira parcela:
Calcule a segunda parcela:
Somando as duas parcelas obtemos
Passo 5
Voltando à carga total, como cada integral unidimensional vale
, temos
Portanto a carga total é finita e igual a
.