Um foguete lançado verticalmente da superfície da Terra atinge uma altitudemáxima de três vezes o raio R da Terra. Sendo M a massa da Terra e G a constante gravitacional, determine uma fórmula da velocidade inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um foguete que é lançado verticalmente da superfície da Terra e chega numa altitude máxima de três vezes o raio da Terra (3R). O que a gente precisa descobrir é a fórmula para a velocidade inicial desse foguete. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia e gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total do foguete no lançamento é composta pela energia cinética (energia do movimento) e pela energia potencial gravitacional (energia devido à posição no campo gravitacional da Terra).
A energia cinética é dada por:
onde:
- $ m $ é a massa do foguete,
- $ v_0 $ é a velocidade inicial que queremos encontrar.
A energia potencial gravitacional é:
onde:
- $ G $ é a constante gravitacional,
- $ M $ é a massa da Terra,
- $ r $ é a distância do centro da Terra.
Passo 3
No ponto mais alto da trajetória, que é a altitude de $ 3R $, a distância total do centro da Terra é $ R + 3R = 4R $.
Vamos aplicar o princípio da conservação da energia, que diz que a energia total no lançamento é igual à energia total no ponto mais alto:
No lançamento, a energia potencial é:
No ponto mais alto, a velocidade é zero (pois o foguete para momentaneamente), então a energia cinética é zero:
Passo 4
Substituindo na conservação da energia:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ v_0 $. Primeiro, cancelamos a massa $ m $:
Multiplicando ambos os lados por 2:
E finalmente, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
A velocidade inicial necessária é: