Um foguete lançado verticalmente da superfície da Terra atinge uma altitudemáxima de três vezes o raio R da Terra. Sendo M a massa da Terra e G a constante gravitacional, determine uma fórmula da velocidade inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um foguete que é lançado verticalmente da superfície da Terra e chega numa altitude máxima de três vezes o raio da Terra (3R). O que a gente precisa descobrir é a fórmula para a velocidade inicial desse foguete. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia e gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total do foguete no lançamento é composta pela energia cinética (energia do movimento) e pela energia potencial gravitacional (energia devido à posição no campo gravitacional da Terra).
A energia cinética é dada por:
Ec = 12 m v0^2
onde:
- $ m $ é a massa do foguete,
- $ v_0 $ é a velocidade inicial que queremos encontrar.
A energia potencial gravitacional é:
m
onde:
- $ G $ é a constante gravitacional,
- $ M $ é a massa da Terra,
- $ r $ é a distância do centro da Terra.

Passo 3

No ponto mais alto da trajetória, que é a altitude de $ 3R $, a distância total do centro da Terra é $ R + 3R = 4R $.
Vamos aplicar o princípio da conservação da energia, que diz que a energia total no lançamento é igual à energia total no ponto mais alto:
3R
No lançamento, a energia potencial é:
R + 3R = 4R
No ponto mais alto, a velocidade é zero (pois o foguete para momentaneamente), então a energia cinética é zero:
Ec + Ep (inicial) = Ec + Ep (final)
Ep (inicial) = -G M mR

Passo 4

Substituindo na conservação da energia:
12 m v0^2 - G M mR = 0 - G M m4R
Simplificando:
12 m v0^2 = G M mR - G M m4R
12 m v0^2 = 3 G M m4R

Passo 5

Agora, vamos resolver para $ v_0 $. Primeiro, cancelamos a massa $ m $:
v0
Multiplicando ambos os lados por 2:
m
E finalmente, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
12 v0^2 = 3 G M4R

Resposta

A velocidade inicial necessária é:
v0 = raiz3 G M2 R

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