Um foguete modelo com massa inicial de
é disparado verticalmente do solo. O foguete expele gás a uma taxa constante de
e a uma velocidade constante de
em relação ao veículo. Suponha que a magnitude da força gravitacional seja proporcional à massa com constante de proporcionalidade
. Como a massa não é constante, a segunda lei de Newton leva à equação
onde
é a velocidade do foguete,
é sua altura acima do solo, e
é a massa do foguete
segundos após o lançamento. Se a velocidade inicial é zero, resolva a equação para determinar a velocidade do foguete e sua altura acima do solo para
.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial que descreve o movimento vertical de um foguete modelo e pede duas coisas: a velocidade
e a altura
para
. Informações dadas e condições iniciais:
- Massa inicial do foguete:
(kg). - Taxa de perda de massa (constante):
(kg/s), então a massa no instante é . - Velocidade de exaustão dos gases (relativa ao veículo):
(m/s), constante em magnitude. - Força gravitacional tem magnitude proporcional à massa com constante
; portanto a força peso é (direção para baixo). - A segunda lei, já dada, é
- Condição inicial para a velocidade:
. - O foguete é lançado do solo, portanto usaremos
para a altura. - Domínio temporal considerado:
(para evitar massa nula ou negativa).
Passo 2
Primeiro reorganizamos a equação diferencial para isolar
. A equação dada é
Somando
em ambos os lados e dividindo por
(que é diferente de zero no intervalo considerado), obtemos
Isto é uma equação diferencial de primeira ordem simples: a derivada da velocidade é a soma de duas funções de
. Podemos integrar em relação a
para obter
.
Passo 3
Vamos integrar a expressão para
. Escrevemos
Integramos ambos os lados em
:
Trabalhamos a integral termo a termo. Para o termo
usamos a substituição
. Então
e
. Assim,
onde removi o valor absoluto porque
no domínio. A integral do termo constante
é
. Portanto a primitiva geral é
Agora aplicamos a condição inicial
. Em
,
logo
. Substituindo,
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos a forma mais compacta
Passo 4
Agora vamos obter a altura
. Sabemos que
. Logo
Como o foguete parte do solo,
. Portanto
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 5
Separe a integral em duas:
A segunda integral é direta:
então o termo gravitacional dá
.
Foca no termo com logaritmo:
Integramos termo a termo:
Para
usamos a substituição
,
,
. A integral indefinida é
Voltando a
e avaliando de
a
,
Subtraindo esse resultado de
(lembre que
essa integral), obtemos
(Observe que aparece um termo
vindo das constantes ao simplificar; se você seguir a álgebra passo a passo verá esse cancelamento explicitamente.)
Passo 6
Multiplicando por
e juntando com o termo gravitacional, a altura é
Substituindo
:
Podemos reescrever de forma clara agrupando termos:
Essa expressão satisfaz
(é fácil verificar) e é válida para
.
Passo 7
Comentário final rápido para te deixar confiante: a velocidade encontrada
é a soma de duas contribuições intuitivas: o termo com
vem do impulso dos gases expelidos (o chamado efeito de foguete, cresce quando a fração de massa perdida aumenta) e o termo
é o desacelerador pela gravidade. A altura
resulta da integração dessa velocidade. Lembra que tudo vale só enquanto ainda há massa, isto é
.