Um foguete modelo com massa inicial de m_{0} \mathrm{~kg} é disparado verticalmente do solo. O foguete expele gás a uma taxa constante de \alpha \mathrm{kg} / \mathrm{s} e a uma velocidade constante de \beta \mathrm{m} / \mathrm{s} em relação ao veículo. Suponha que a magnitude da força gravitacional seja proporcional à massa com constante de proporcionalidade g. Como a massa não é constante, a segunda lei de Newton leva à equação
\left(m_{0}-\alpha t\right) \frac{d v}{d t}-\alpha \beta=-g\left(m_{0}-\alpha t\right)
onde v=d x / d t é a velocidade do foguete, x é sua altura acima do solo, e m_{0}-\alpha t é a massa do foguete t segundos após o lançamento. Se a velocidade inicial é zero, resolva a equação para determinar a velocidade do foguete e sua altura acima do solo para 0 \leq t<m_{0} / \alpha.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial que descreve o movimento vertical de um foguete modelo e pede duas coisas: a velocidade v(t) e a altura x(t) para 0 \le t < m_{0}/\alpha. Informações dadas e condições iniciais:
  • Massa inicial do foguete: m_{0} (kg).
  • Taxa de perda de massa (constante): \alpha (kg/s), então a massa no instante t é m_{0}-\alpha t.
  • Velocidade de exaustão dos gases (relativa ao veículo): \beta (m/s), constante em magnitude.
  • Força gravitacional tem magnitude proporcional à massa com constante g; portanto a força peso é g(m_{0}-\alpha t) (direção para baixo).
  • A segunda lei, já dada, é
\left(m_{0}-\alpha t\right)\frac{dv}{dt}-\alpha\beta=-g\left(m_{0}-\alpha t\right).
  • Condição inicial para a velocidade: v(0)=0.
  • O foguete é lançado do solo, portanto usaremos x(0)=0 para a altura.
  • Domínio temporal considerado: 0\le t < m_{0}/\alpha (para evitar massa nula ou negativa).

Passo 2

Primeiro reorganizamos a equação diferencial para isolar \dfrac{dv}{dt}. A equação dada é
\left(m_{0}-\alpha t\right)\frac{dv}{dt}-\alpha\beta=-g\left(m_{0}-\alpha t\right).
Somando \alpha\beta em ambos os lados e dividindo por \left(m_{0}-\alpha t\right) (que é diferente de zero no intervalo considerado), obtemos
\frac{dv}{dt}=\frac{\alpha\beta}{m_{0}-\alpha t}-g.
Isto é uma equação diferencial de primeira ordem simples: a derivada da velocidade é a soma de duas funções de t. Podemos integrar em relação a t para obter v(t).

Passo 3

Vamos integrar a expressão para \dfrac{dv}{dt}. Escrevemos
\frac{dv}{dt}=\frac{\alpha\beta}{m_{0}-\alpha t}-g.
Integramos ambos os lados em t:
v(t)=\int\left(\frac{\alpha\beta}{m_{0}-\alpha t}-g\right)dt.
Trabalhamos a integral termo a termo. Para o termo \dfrac{\alpha\beta}{m_{0}-\alpha t} usamos a substituição u=m_{0}-\alpha t. Então du=-\alpha dt e dt=-\dfrac{du}{\alpha}. Assim,
\int \frac{\alpha\beta}{m_{0}-\alpha t}\,dt = \alpha\beta\int \frac{1}{u}\left(-\frac{du}{\alpha}\right) = -\beta\int \frac{1}{u}\,du = -\beta\ln|u| + C = -\beta\ln(m_{0}-\alpha t) + C,
onde removi o valor absoluto porque m_{0}-\alpha t>0 no domínio. A integral do termo constante -g é -gt. Portanto a primitiva geral é
v(t)=-\beta\ln(m_{0}-\alpha t)-gt+C_1.
Agora aplicamos a condição inicial v(0)=0. Em t=0,
0 = -\beta\ln(m_{0}) - g\cdot 0 + C_1,
logo C_1=\beta\ln(m_{0}). Substituindo,
v(t)=\beta\ln(m_{0})-\beta\ln(m_{0}-\alpha t)-gt.
Usando a propriedade dos logaritmos \ln a - \ln b = \ln\!\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr), obtemos a forma mais compacta
\boxed{v(t)=\beta\ln\!\left(\frac{m_{0}}{\,m_{0}-\alpha t\,}\right)-gt.}

Passo 4

Agora vamos obter a altura x(t). Sabemos que v(t)=\dfrac{dx}{dt}. Logo
x(t)=\int_{0}^{t} v(s)\,ds + x(0).
Como o foguete parte do solo, x(0)=0. Portanto
x(t)=\int_{0}^{t}\left[\beta\ln\!\left(\frac{m_{0}}{m_{0}-\alpha s}\right)-gs\right]ds.
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 5

Separe a integral em duas:
x(t)=\beta\int_{0}^{t}\ln\!\left(\frac{m_{0}}{m_{0}-\alpha s}\right)ds \;-\; g\int_{0}^{t}s\,ds.
A segunda integral é direta:
\int_{0}^{t}s\,ds=\frac{t^{2}}{2},
então o termo gravitacional dá -\dfrac{1}{2}gt^{2}.
Foca no termo com logaritmo:
I(t)=\int_{0}^{t}\ln\!\left(\frac{m_{0}}{m_{0}-\alpha s}\right)ds =\int_{0}^{t}\bigl(\ln m_{0}-\ln(m_{0}-\alpha s)\bigr)ds.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{t}\ln m_{0}\,ds = t\ln m_{0}.
Para \int_{0}^{t}\ln(m_{0}-\alpha s)\,ds usamos a substituição u=m_{0}-\alpha s, du=-\alpha ds, ds=-\dfrac{du}{\alpha}. A integral indefinida é
\int \ln u\left(-\frac{du}{\alpha}\right) = -\frac{1}{\alpha}\int \ln u\,du = -\frac{1}{\alpha}\bigl(u\ln u - u\bigr) + C.
Voltando a s e avaliando de 0 a t,
\int_{0}^{t}\ln(m_{0}-\alpha s)\,ds = -\frac{1}{\alpha}\Bigl[(m_{0}-\alpha t)\ln(m_{0}-\alpha t)-(m_{0}-\alpha t)\Bigr] +\frac{1}{\alpha}\bigl[m_{0}\ln m_{0}-m_{0}\bigr].
Subtraindo esse resultado de t\ln m_{0} (lembre que I(t)=t\ln m_{0}- essa integral), obtemos
I(t)=t\ln m_{0} +\frac{(m_{0}-\alpha t)\ln(m_{0}-\alpha t)-m_{0}\ln m_{0}}{\alpha} +t.
(Observe que aparece um termo +t vindo das constantes ao simplificar; se você seguir a álgebra passo a passo verá esse cancelamento explicitamente.)

Passo 6

Multiplicando por \beta e juntando com o termo gravitacional, a altura é
x(t)=\beta I(t)-\frac{1}{2}gt^{2}.
Substituindo I(t):
x(t)=\beta\left[t\ln m_{0}+t+\frac{(m_{0}-\alpha t)\ln(m_{0}-\alpha t)-m_{0}\ln m_{0}}{\alpha}\right]-\frac{1}{2}gt^{2}.
Podemos reescrever de forma clara agrupando termos:
\boxed{% x(t)=\beta t\bigl(1+\ln m_{0}\bigr)+\frac{\beta}{\alpha}\bigl[(m_{0}-\alpha t)\ln(m_{0}-\alpha t)-m_{0}\ln m_{0}\bigr]-\frac{1}{2}gt^{2}. }
Essa expressão satisfaz x(0)=0 (é fácil verificar) e é válida para 0\le t<m_{0}/\alpha.

Passo 7

Comentário final rápido para te deixar confiante: a velocidade encontrada
v(t)=\beta\ln\!\left(\frac{m_{0}}{m_{0}-\alpha t}\right)-gt
é a soma de duas contribuições intuitivas: o termo com \beta vem do impulso dos gases expelidos (o chamado efeito de foguete, cresce quando a fração de massa perdida aumenta) e o termo -gt é o desacelerador pela gravidade. A altura x(t) resulta da integração dessa velocidade. Lembra que tudo vale só enquanto ainda há massa, isto é t<m_{0}/\alpha.

Resposta

\displaystyle v(t)=\beta\ln\!\left(\frac{m_{0}}{\,m_{0}-\alpha t\,}\right)-gt\n \displaystyle x(t)=\beta t\bigl(1+\ln m_{0}\bigr)+\frac{\beta}{\alpha}\bigl[(m_{0}-\alpha t)\ln(m_{0}-\alpha t)-m_{0}\ln m_{0}\bigr]-\frac{1}{2}gt^{2}

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