Um objeto com massa de 100 kg é lançado do repouso de um barco para a água e é deixado para afundar. Enquanto a gravidade puxa o objeto para baixo, uma força de empuxo de
vezes o peso do objeto o empurra para cima ( peso
). Se considerarmos que a resistência da água exerce uma força sobre o objeto que é proporcional à sua velocidade, com constante de proporcionalidade 10
, ache a equação do movimento do objeto. Depois de quantos segundos sua velocidade será de
?
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o seguinte:
- Dados do problema:
- massa do objeto:
. - lançado do repouso: velocidade inicial
. - peso do objeto:
(onde é a aceleração da gravidade). - empuxo (força de Arquimedes) empurra para cima com intensidade igual a
do peso, ou seja . - resistência da água (força de arrasto) é proporcional à velocidade, com constante de proporcionalidade
. A força de resistência age no sentido oposto ao movimento.
- massa do objeto:
- O que nos pedem:
- A equação do movimento do objeto (ou seja, a equação que descreve
). - O tempo necessário para que a velocidade atinja
.
- A equação do movimento do objeto (ou seja, a equação que descreve
Observação: ainda não resolvemos nada — apenas listei os dados e o que é pedido.
Passo 2
Escolhemos um sinal-convenção para evitar confusão: tomamos a direção para baixo como positiva. Assim:
- a força peso aponta para baixo e é positiva:
; - o empuxo aponta para cima e, portanto, é negativa:
; - a resistência da água é contrária ao movimento. Como o objeto se move para baixo (velocidade positiva), a resistência aponta para cima e é negativa, igual a
.
Aplicando a segunda lei de Newton (soma das forças =
, e
), escrevemos a equação das forças:
Aqui cada termo significa:
-
: massa vezes aceleração (força resultante); -
: peso; -
: empuxo (subtraído porque aponta para cima); -
: resistência viscosa proporcional à velocidade.
Substituímos os valores numéricos. Usamos
, então:
O empuxo é
. Portanto o termo resultante das forças constantes é
Com
temos a equação numérica:
Dividindo por
para isolar
:
Passo 3
Vamos identificar o tipo de equação e explicar como resolvê-la. A equação
é uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes constantes. Um jeito muito prático e comum de resolver é primeiro encontrar a solução particular (estado estacionário) e depois a solução geral.
Solução particular (velocidade terminal): suponha que quando
a velocidade se estabilize (ou seja,
). Então:
Este
é a velocidade terminal: onde a força peso menos empuxo é balanceada pela resistência da água.
A solução geral da equação linear é a soma da solução particular com a solução da homogênea associada. A equação homogênea é
cuja solução é exponencial:
onde
é uma constante determinada pela condição inicial.
Portanto a solução geral tem a forma
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Logo
.
Assim obtemos a solução explícita para a velocidade em função do tempo:
Explicando em palavras: a velocidade parte de zero e cresce exponencialmente até se aproximar assintoticamente de
.
Passo 5
Agora calculamos o tempo necessário para que
. Partimos da fórmula encontrada:
Isolamos a exponencial:
Calculando o lado direito:
Tomando logaritmo natural dos dois lados:
Calculando numericamente:
Portanto leva aproximadamente
segundos para a velocidade atingir
.