Um objeto com massa de 100 kg é lançado do repouso de um barco para a água e é deixado para afundar. Enquanto a gravidade puxa o objeto para baixo, uma força de empuxo de 1 / 40 vezes o peso do objeto o empurra para cima ( peso =m g ). Se considerarmos que a resistência da água exerce uma força sobre o objeto que é proporcional à sua velocidade, com constante de proporcionalidade 10 \mathrm{N} \cdot \mathrm{s} / \mathrm{m}, ache a equação do movimento do objeto. Depois de quantos segundos sua velocidade será de 70 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Dados do problema:
    • massa do objeto: m=100\\ \mathrm{kg}.
    • lançado do repouso: velocidade inicial v(0)=0.
    • peso do objeto: m g (onde g é a aceleração da gravidade).
    • empuxo (força de Arquimedes) empurra para cima com intensidade igual a \tfrac{1}{40} do peso, ou seja \tfrac{1}{40} m g.
    • resistência da água (força de arrasto) é proporcional à velocidade, com constante de proporcionalidade k=10\\ \mathrm{N\cdot s/m}. A força de resistência age no sentido oposto ao movimento.
  • O que nos pedem:
    1. A equação do movimento do objeto (ou seja, a equação que descreve v(t)).
    2. O tempo necessário para que a velocidade atinja 70\\ \mathrm{m/s}.
Observação: ainda não resolvemos nada — apenas listei os dados e o que é pedido.

Passo 2

Escolhemos um sinal-convenção para evitar confusão: tomamos a direção para baixo como positiva. Assim:
  • a força peso aponta para baixo e é positiva: +m g;
  • o empuxo aponta para cima e, portanto, é negativa: -\tfrac{1}{40} m g;
  • a resistência da água é contrária ao movimento. Como o objeto se move para baixo (velocidade positiva), a resistência aponta para cima e é negativa, igual a -k v.
Aplicando a segunda lei de Newton (soma das forças = m \, a, e a=\dfrac{dv}{dt}), escrevemos a equação das forças:
m\frac{dv}{dt}=m g - \frac{1}{40} m g - k v.
Aqui cada termo significa:
  • m\frac{dv}{dt}: massa vezes aceleração (força resultante);
  • m g: peso;
  • \tfrac{1}{40} m g: empuxo (subtraído porque aponta para cima);
  • k v: resistência viscosa proporcional à velocidade.
Substituímos os valores numéricos. Usamos g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}, então:
m g = 100\cdot 9,8 = 980\\ \mathrm{N}.
O empuxo é \tfrac{1}{40} m g = \tfrac{1}{40}\cdot 980 = 24,5\\ \mathrm{N}. Portanto o termo resultante das forças constantes é
m g - \frac{1}{40} m g = 980 - 24,5 = 955,5\\ \mathrm{N}.
Com k=10 temos a equação numérica:
100\frac{dv}{dt}=955,5-10\,v.
Dividindo por 100 para isolar \dfrac{dv}{dt}:
\frac{dv}{dt}=9,555-0,1\,v.

Passo 3

Vamos identificar o tipo de equação e explicar como resolvê-la. A equação
\frac{dv}{dt}+0,1\,v=9,555
é uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes constantes. Um jeito muito prático e comum de resolver é primeiro encontrar a solução particular (estado estacionário) e depois a solução geral.
Solução particular (velocidade terminal): suponha que quando t\to\infty a velocidade se estabilize (ou seja, \dfrac{dv}{dt}=0). Então:
0+0,1\,v_{\infty}=9,555 \quad\Rightarrow\quad v_{\infty}=\frac{9,555}{0,1}=95,55\\ \mathrm{m/s}.
Este v_{\infty} é a velocidade terminal: onde a força peso menos empuxo é balanceada pela resistência da água.
A solução geral da equação linear é a soma da solução particular com a solução da homogênea associada. A equação homogênea é
\frac{dv}{dt}+0,1\,v=0,
cuja solução é exponencial:
v_{\text{hom}}(t)=C e^{-0,1 t},
onde C é uma constante determinada pela condição inicial.
Portanto a solução geral tem a forma
v(t)=v_{\infty}+C e^{-0,1 t}=95,55 + C e^{-0,1 t}.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial v(0)=0 para determinar C. Substituindo t=0:
0=v(0)=95,55 + C e^{0}=95,55 + C.
Logo C=-95,55.
Assim obtemos a solução explícita para a velocidade em função do tempo:
v(t)=95,55\bigl(1-e^{-0,1 t}\bigr)\\ \mathrm{m/s}.
Explicando em palavras: a velocidade parte de zero e cresce exponencialmente até se aproximar assintoticamente de 95,55\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Agora calculamos o tempo necessário para que v(t)=70\\ \mathrm{m/s}. Partimos da fórmula encontrada:
70=95,55\bigl(1-e^{-0,1 t}\bigr).
Isolamos a exponencial:
1-e^{-0,1 t}=\frac{70}{95,55}\quad\Rightarrow\quad e^{-0,1 t}=1-\frac{70}{95,55}.
Calculando o lado direito:
\frac{70}{95,55}\approx 0,7325\quad\Rightarrow\quad e^{-0,1 t}\approx 1-0,7325=0,2675.
Tomando logaritmo natural dos dois lados:
-0,1 t=\ln(0,2675)\quad\Rightarrow\quad t=-\frac{1}{0,1}\ln(0,2675).
Calculando numericamente:
t\approx -10\cdot(-1,3181)\approx 13,18\\ \mathrm{s}.
Portanto leva aproximadamente 13,18 segundos para a velocidade atingir 70\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v(t)=95,55\bigl(1-e^{-0,1 t}\bigr)\\ \mathrm{m/s}\n t\approx 13,18\\ \mathrm{s}

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