Um objeto de massa igual a 60 kg começa do repouso no topo de um plano inclinado em 45^{\circ}. Suponha que o coeficiente de atrito cinético seja 0,05 . Se a força da resistência do ar for proporcional à velocidade do objeto, digamos, -3 v, ache a equação do movimento do objeto. Quanto tempo levará para o objeto alcançar a parte inferior do plano inclinado se a inclinação tiver 10 m de extensão?

Passo 1

O enunciado dá um objeto de massa \,60\\ \text{kg}\, que parte do repouso no topo de um plano inclinado com ângulo \,45^\circ. Os dados relevantes são:
m=60\\ \text{kg},\quad \theta=45^\circ,\quad \mu_k=0{,}05,\quad\text{força de resistência do ar}= -3v,çê
e o comprimento do plano inclinado é 10\\ \text{m}.
O enunciado pede duas coisas:
  1. a equação do movimento do objeto (ou seja, a equação diferencial que governa o movimento e suas soluções para velocidade e posição ao longo do plano);
  2. quanto tempo leva para o objeto percorrer os 10\\ \text{m} do plano, partindo do repouso.

Passo 2

Escolha de coordenadas e forças atuantes (muito importante para montar a equação).
  • Tomamos a coordenada s ao longo do plano, no sentido do movimento (para baixo do plano). A velocidade escalar ao longo do plano é v=\dfrac{ds}{dt}.
  • Forças tangenciais ao longo do plano (positivas para baixo): componente do peso para baixo \,mg\sin\theta; força de atrito cinético para cima \,\mu_k N=\mu_k m g\cos\theta; resistência do ar para cima (proporcional à velocidade) dada por -3v.
    Aplicando a segunda lei de Newton ao longo do plano (soma das forças = m a, com a=dv/dt) obtemos a equação diferencial:
m\frac{dv}{dt}=mg\sin\theta-\mu_k m g\cos\theta - 3v.
Explico cada termo: \,mg\sin\theta é a componente do peso que puxa o corpo para baixo; \mu_k m g\cos\theta é a força de atrito (constante) para cima; -3v é a força viscosa (linear em v) dirigida para cima quando v>0.

Passo 3

Simplificação da equação e escrita em forma padrão (equação linear de 1ª ordem).
Dividindo por m e agrupando termos, obtemos
\frac{dv}{dt} + \frac{3}{m}v = g\big(\sin\theta-\mu_k\cos\theta\big).
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma
\frac{dv}{dt} + a v = b,
onde \,a=\dfrac{3}{m} e \,b=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta). Vou resolver essa equação usando o fator integrante (método padrão para equações lineares de 1ª ordem).

Passo 4

Resolução da ODE para v(t) (passo a passo didático com o fator integrante).
A equação é
\frac{dv}{dt} + a v = b,\qquad v(0)=0,
com a=\dfrac{3}{m} e b=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta). O fator integrante é \exp(at). Multiplicando ambos os lados por ele:
\frac{d}{dt}\big( e^{at} v\big) = b e^{at}.
Integrando de 0 a t:
e^{at}v(t)-e^{0}v(0)=b\int_0^t e^{a\tau}\,d\tau.
Como v(0)=0, temos
v(t)=b e^{-at}\int_0^t e^{a\tau}\,d\tau = b e^{-at}\left(\frac{e^{at}-1}{a}\right) = \frac{b}{a}\big(1-e^{-at}\big).
Voltando às constantes originais, definimos a velocidade de regime (terminal) \,v_\infty=\dfrac{b}{a}=\dfrac{g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)}{3/m}=\dfrac{m g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)}{3}. Portanto
\boxed{v(t)=v_\infty\big(1-e^{-(3/m)t}\big).}
Observação didática: a solução tem a forma típica "velocidade final multiplicada por 1-e^{-\text{const}\,t}"; parte do corpo acelera e vai se aproximando exponencialmente da velocidade limite v_\infty.

Passo 5

Integração para obter a posição s(t) ao longo do plano (resolução passo a passo).
Sabendo que v(t)=\dfrac{ds}{dt}, integramos:
s(t)=\int_0^t v(\tau)\,d\tau = v_\infty\int_0^t\big(1-e^{-(3/m)\tau}\big)\,d\tau.
Calcule a integral:
s(t)=v_\infty\left[t - \frac{1}{(3/m)}\big(1-e^{-(3/m)t}\big)\right] = v_\infty\left[t + \frac{m}{3}\big(e^{-(3/m)t}-1\big)\right].
Expressão final para a posição ao longo do plano (com s(0)=0):
\boxed{s(t)=v_\infty\left[t+\frac{m}{3}\big(e^{-(3/m)t}-1\big)\right].}

Passo 6

Substituição dos valores numéricos das constantes (para obter fórmulas numéricas prontas).
Calculamos os termos numéricos necessários:
\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}70710678,
\sin\theta-\mu_k\cos\theta=0{,}70710678\times(1-0{,}05)=0{,}67175144.
Então
b=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)=9{,}8\times0{,}67175144\approx6{,}58316413\\ \text{m/s}^2.
E
a=\frac{3}{m}=\frac{3}{60}=0{,}05\\ \text{s}^{-1}.
A velocidade terminal é
v_\infty=\frac{b}{a}=\frac{6{,}58316413}{0{,}05}\approx131{,}6632826\\ \text{m/s}.
Assim temos as fórmulas numéricas:
\boxed{v(t)=131{,}6633\big(1-e^{-0{,}05\,t}\big)\\ \text{m/s}}
e
\boxed{s(t)=131{,}6633\left[t+20\big(e^{-0{,}05\,t}-1\big)\right]\\ \text{m}.}
(Observe que m/3=60/3=20.)

Passo 7

Encontrar o tempo T tal que s(T)=10\\ \text{m}. Montamos a equação transcendental:
131{,}6633\left[T+20\big(e^{-0{,}05T}-1\big)\right]=10.
Rearranjando:
f(T)\equiv 131{,}6633\,T + 2633{,}266\big(e^{-0{,}05T}-1\big)-10=0.
Essa equação não admite solução analítica explícita em termos de funções elementares (é transcendental por envolver T e e^{-0{,}05T}), então resolvemos numericamente. Vou usar o método de Newton (rápido e direto): a derivada f'(T) é simplesmente a velocidade v(T):
f'(T)=v(T)=131{,}6633\big(1-e^{-0{,}05T}\big).
Escolho uma boa aproximação inicial baseada em aceleração constante sem arrasto: T_0=\sqrt{\dfrac{2\cdot 10}{6{,}58316413}}\approx1{,}7435\\ \text{s}.

Passo 8

Iterações de Newton (mostrando cálculos numéricos) até convergência:
  • T_0=1{,}7435. Avaliando: s(T_0)\approx9{,}769\\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad f(T_0)\approx-0{,}231.
v(T_0)\approx11{,}00\\ \text{m/s}.
Atualização Newton:
T_1=T_0-\frac{f(T_0)}{v(T_0)}\approx1{,}7435- \frac{-0{,}231}{11{,}00}\approx1{,}7646\\ \text{s}.
  • T_1=1{,}7646. Avaliando: s(T_1)\approx9{,}980\\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad f(T_1)\approx-0{,}020,
v(T_1)\approx11{,}12\\ \text{m/s},
Atualização:
T_2=T_1-\frac{f(T_1)}{v(T_1)}\approx1{,}7646- \frac{-0{,}020}{11{,}12}\approx1{,}7664\\ \text{s}.
  • T_2=1{,}7664. Avaliando: s(T_2)\approx10{,}0002\\ \text{m},o que já é suficientemente próximo de 10\\ \text{m} (erro \sim 2\times10^{-4}\\ \text{m} na posição). Portanto a solução numérica é
\boxed{T\approx1{,}77\\ \text{s}.}

Resposta

Equação do movimento (ODE) e soluções:
m\frac{dv}{dt}=mg\sin\theta-\mu_k m g\cos\theta - 3v,
\boxed{v(t)=131{,}6633\big(1-e^{-0{,}05\,t}\big)\\ \text{m/s}},
\boxed{s(t)=131{,}6633\left[t+20\big(e^{-0{,}05\,t}-1\big)\right]\\ \text{m}}.
Tempo para percorrer 10\\ \text{m}:
\boxed{T\approx1{,}77\\ \text{s}.}

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