Um objeto de massa igual a 60 kg começa do repouso no topo de um plano inclinado em
. Suponha que o coeficiente de atrito cinético seja 0,05 . Se a força da resistência do ar for proporcional à velocidade do objeto, digamos,
, ache a equação do movimento do objeto. Quanto tempo levará para o objeto alcançar a parte inferior do plano inclinado se a inclinação tiver 10 m de extensão?
Passo 1
O enunciado dá um objeto de massa
que parte do repouso no topo de um plano inclinado com ângulo
. Os dados relevantes são:
e o comprimento do plano inclinado é
.
O enunciado pede duas coisas:
O enunciado pede duas coisas:
- a equação do movimento do objeto (ou seja, a equação diferencial que governa o movimento e suas soluções para velocidade e posição ao longo do plano);
- quanto tempo leva para o objeto percorrer os
do plano, partindo do repouso.
Passo 2
Escolha de coordenadas e forças atuantes (muito importante para montar a equação).
- Tomamos a coordenada
ao longo do plano, no sentido do movimento (para baixo do plano). A velocidade escalar ao longo do plano é . - Forças tangenciais ao longo do plano (positivas para baixo): componente do peso para baixo
; força de atrito cinético para cima ; resistência do ar para cima (proporcional à velocidade) dada por .
Aplicando a segunda lei de Newton ao longo do plano (soma das forças =, com ) obtemos a equação diferencial:
Explico cada termo:
é a componente do peso que puxa o corpo para baixo;
é a força de atrito (constante) para cima;
é a força viscosa (linear em
) dirigida para cima quando
.
Passo 3
Simplificação da equação e escrita em forma padrão (equação linear de 1ª ordem).
Dividindo por e agrupando termos, obtemos
Dividindo por
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma
onde
e
. Vou resolver essa equação usando o fator integrante (método padrão para equações lineares de 1ª ordem).
Passo 4
Resolução da ODE para
(passo a passo didático com o fator integrante).
A equação é
A equação é
com
e
. O fator integrante é
. Multiplicando ambos os lados por ele:
Integrando de
a
:
Como
, temos
Voltando às constantes originais, definimos a velocidade de regime (terminal)
. Portanto
Observação didática: a solução tem a forma típica "velocidade final multiplicada por
"; parte do corpo acelera e vai se aproximando exponencialmente da velocidade limite
.
Passo 5
Integração para obter a posição
ao longo do plano (resolução passo a passo).
Sabendo que , integramos:
Sabendo que
Calcule a integral:
Expressão final para a posição ao longo do plano (com
):
Passo 6
Substituição dos valores numéricos das constantes (para obter fórmulas numéricas prontas).
Calculamos os termos numéricos necessários:
Calculamos os termos numéricos necessários:
Então
E
A velocidade terminal é
Assim temos as fórmulas numéricas:
e
(Observe que
.)
Passo 7
Encontrar o tempo
tal que
. Montamos a equação transcendental:
Rearranjando:
Essa equação não admite solução analítica explícita em termos de funções elementares (é transcendental por envolver
e
), então resolvemos numericamente. Vou usar o método de Newton (rápido e direto): a derivada
é simplesmente a velocidade
:
Escolho uma boa aproximação inicial baseada em aceleração constante sem arrasto:
.
Passo 8
Iterações de Newton (mostrando cálculos numéricos) até convergência:
-
. Avaliando:
Atualização Newton:
-
. Avaliando:
Atualização:
-
. Avaliando: o que já é suficientemente próximo de (erro na posição). Portanto a solução numérica é
Resposta
Equação do movimento (ODE) e soluções:
Tempo para percorrer
: