82 Se a viga (quadrada) do Exemplo 12.02 é feita de pinho, qual deve ser a espessura da viga para que a tensão compressiva a que está submetida seja
do limite de ruptura?
Passo 1
O enunciado pede: “Se a viga (quadrada) do Exemplo 12.02 é feita de pinho, qual deve ser a espessura da viga para que a tensão compressiva a que está submetida seja
do limite de ruptura?”
Informações dadas no enunciado que você mandou:
- A viga é quadrada (seção quadrada).
- O material é pinho.
- Deseja-se que a tensão compressiva seja
do limite de ruptura (ou seja, tensão admissível igual a ).
Informações que ESTÃO FALTANDO (necessárias para calcular um valor numérico):
- O carregamento aplicado: não foi fornecido se há uma força axial
, um momento fletor , combinação de ambos, ou outra condição. Essa informação é crucial. - O valor numérico do limite de ruptura do pinho
(ou o valor usado no Exemplo 12.02). - Caso seja compressão em coluna, falta o comprimento
da peça e condição de apoio (fator de comprimento efetivo ).
Como o enunciado faz referência ao “Exemplo 12.02” e esse exemplo não foi enviado, não tenho os valores numéricos nem o tipo exato de carregamento. Portanto não é possível dar uma única espessura numérica sem esses dados. Abaixo eu explico passo a passo as fórmulas e procedimentos que você deve usar — assim, com os dados do Exemplo 12.02 você aplica diretamente e obtém a espessura correta na prova.
Passo 2
Conceito básico: tensão compressiva e tensão admissível.
A tensão média de compressão (quando a força é axial e homogênea) é dada por
onde:
-
é a força axial de compressão (em N), -
é a área da seção transversal (em m^2), -
é a tensão (em N/m^2 ou Pa).
No enunciado pede que essa tensão seja
do limite de ruptura do material. Definimos a tensão admissível
Aqui
é o limite de ruptura do pinho (valor que deve vir do Exemplo 12.02 ou de uma tabela de materiais). Sempre identifique essa grandeza no enunciado ou na tabela de materiais.
Passo 3
Seção quadrada — área e relação com a espessura.
Para uma seção quadrada de lado (espessura)
, a área é
Substituindo na fórmula da tensão axial média, para compressão axial pura:
Queremos que
. Igualando e isolando
:
Lembre-se que
. Substituindo essa relação:
Explicando passo a passo: para achar
você pega a força
que atua axialmente, multiplica por 6 e divide pelo limite de ruptura do pinho; tira raiz quadrada e obtém a medida do lado do quadrado.
Passo 4
Caso a tensão compressiva seja resultado de flexão (momento fletor) — como acontece em uma viga onde uma face fica comprimida pela flexão.
Fórmula da tensão por flexão simples (fibra extrema):
onde:
-
é o momento fletor (N·m), -
é a distância do centroide à fibra extrema (m), -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (m^4).
Para seção quadrada de lado
, com flexão em um plano que envolve um eixo que passa pelo centro, o momento de inércia é
A fibra extrema está a
do eixo neutro. Substituindo:
Logo a tensão máxima por flexão é
Impondo
e isolando
:
Resumo: para flexão pura,
cresce com o cubo da raiz do momento; isolando dá a expressão acima.
Passo 5
Caso combinado: força axial
e momento
simultâneos.
A tensão máxima combinada na fibra extrema (compressiva) é a soma da contribuição axial e da contribuição por flexão:
Queremos
. Então:
Multiplicando por
para obter um polinômio em
:
Isto é uma equação cúbica em
. Na prática, com
,
e
conhecidos, você resolve numericamente essa cúbica (método de Newton-Raphson, ou usando calculadora/solvers) para obter
. Se algum dos termos for nulo (por exemplo
), volta-se aos casos anteriores.
Passo 6
Checagem de flambagem (Euler) para colunas esbeltas — quando aplicável.
Se a peça é longa em relação à sua espessura, a falha pode ocorrer por flambagem antes de atingir a tensão de ruptura. O carregamento crítico de Euler é
onde:
-
é o módulo de elasticidade do pinho (Pa), -
é o momento de inércia da seção (aqui ), -
é o comprimento da barra (m), -
é o fator de comprimento efetivo (depende das condições de contorno: apoio-ponta-livre etc.).
Exigindo
(para evitar flambagem), substituímos
e isolamos
:
Portanto, mesmo que a verificação por tensões diretas dê um
menor, você deve verificar a flambagem e tomar o maior
entre os critérios de resistência (compressão/flexão) e estabilidade (flambagem).
Passo 7
Resumo prático do procedimento que você deve aplicar (passo a passo quando tiver os dados do Exemplo 12.02):
- Identifique o tipo de carregamento do exemplo: axial
, momento (flexão), ou ambos. - Pegue o valor numérico do limite de ruptura do pinho
usado no Exemplo 12.02 (ou tabela). - Calcule
. - Use a fórmula adequada:
- compressão axial pura:
,\n - flexão pura: ,\n - combinado: resolva numericamente,\n - verifique flambagem: quando aplicável.
- compressão axial pura:
- Escolha
como o maior valor exigido pelos critérios (resistência e estabilidade).
Se quiser, me passe os números do Exemplo 12.02 (valor de
ou
,
, e caso necessário
e
) e eu faço a conta passo a passo para obter
.
Passo 8
Dicas práticas para prova (como operar sem calculadora poderosa):
- Para o caso axial, a fórmula
é simples de avaliar com raiz quadrada e operações básicas. - Para flexão,
dá raiz cúbica; se não tiver raiz cúbica na calculadora, estime por aproximação (achando um valor cujo cubo esteja próximo) — pratique algumas raízes cúbicas antes da prova. - Para a cúbica do caso combinado, em prova geralmente ou te dão números que permitem fatorar ou tornam um termo nulo, ou então pedem expressão simbólica. Caso precise resolver numericamente, uma iteração simples de Newton com uma boa aproximação inicial (por exemplo usar o
do caso axial como chute inicial) converge rápido. - Não esqueça sempre checar flambagem para vigas/colunas esbeltas — muitos erros em prova vêm de esquecer esse critério.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a espessura porque faltam os dados do Exemplo 12.02 (força axial
ou momento fletor
, e o valor do limite de ruptura
do pinho; também
e
se a flambagem for relevante).\n\nFórmulas para obter
quando os dados forem conhecidos:\n
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