82 Se a viga (quadrada) do Exemplo 12.02 é feita de pinho, qual deve ser a espessura da viga para que a tensão compressiva a que está submetida seja 1 / 6 do limite de ruptura?

Passo 1

O enunciado pede: “Se a viga (quadrada) do Exemplo 12.02 é feita de pinho, qual deve ser a espessura da viga para que a tensão compressiva a que está submetida seja 1/6 do limite de ruptura?”
Informações dadas no enunciado que você mandou:
  • A viga é quadrada (seção quadrada).
  • O material é pinho.
  • Deseja-se que a tensão compressiva seja 1/6 do limite de ruptura (ou seja, tensão admissível igual a \sigma_{\text{rupt}}/6).
Informações que ESTÃO FALTANDO (necessárias para calcular um valor numérico):
  • O carregamento aplicado: não foi fornecido se há uma força axial F, um momento fletor M, combinação de ambos, ou outra condição. Essa informação é crucial.
  • O valor numérico do limite de ruptura do pinho \sigma_{\text{rupt}} (ou o valor usado no Exemplo 12.02).
  • Caso seja compressão em coluna, falta o comprimento L da peça e condição de apoio (fator de comprimento efetivo K).
Como o enunciado faz referência ao “Exemplo 12.02” e esse exemplo não foi enviado, não tenho os valores numéricos nem o tipo exato de carregamento. Portanto não é possível dar uma única espessura numérica sem esses dados. Abaixo eu explico passo a passo as fórmulas e procedimentos que você deve usar — assim, com os dados do Exemplo 12.02 você aplica diretamente e obtém a espessura correta na prova.

Passo 2

Conceito básico: tensão compressiva e tensão admissível.
A tensão média de compressão (quando a força é axial e homogênea) é dada por
\sigma = \dfrac{F}{A},
onde:
  • F é a força axial de compressão (em N),
  • A é a área da seção transversal (em m^2),
  • \sigma é a tensão (em N/m^2 ou Pa).
No enunciado pede que essa tensão seja 1/6 do limite de ruptura do material. Definimos a tensão admissível
\sigma_{\text{adm}} = \dfrac{\sigma_{\text{rupt}}}{6}.
Aqui \sigma_{\text{rupt}} é o limite de ruptura do pinho (valor que deve vir do Exemplo 12.02 ou de uma tabela de materiais). Sempre identifique essa grandeza no enunciado ou na tabela de materiais.

Passo 3

Seção quadrada — área e relação com a espessura.
Para uma seção quadrada de lado (espessura) t, a área é
A = t^{2}.
Substituindo na fórmula da tensão axial média, para compressão axial pura:
\sigma = \frac{F}{t^{2}}.
Queremos que \sigma = \sigma_{\text{adm}}. Igualando e isolando t:
\sigma_{\text{adm}} = \frac{F}{t^{2}} \quad\Longrightarrow\quad t^{2} = \frac{F}{\sigma_{\text{adm}}} \quad\Longrightarrow\quad t = \sqrt{\frac{F}{\sigma_{\text{adm}}}}.
Lembre-se que \sigma_{\text{adm}}=\sigma_{\text{rupt}}/6. Substituindo essa relação:
t = \sqrt{\dfrac{6F}{\sigma_{\text{rupt}}}}.
Explicando passo a passo: para achar t você pega a força F que atua axialmente, multiplica por 6 e divide pelo limite de ruptura do pinho; tira raiz quadrada e obtém a medida do lado do quadrado.

Passo 4

Caso a tensão compressiva seja resultado de flexão (momento fletor) — como acontece em uma viga onde uma face fica comprimida pela flexão.
Fórmula da tensão por flexão simples (fibra extrema):
\sigma = \frac{M\,y}{I},
onde:
  • M é o momento fletor (N·m),
  • y é a distância do centroide à fibra extrema (m),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (m^4).
Para seção quadrada de lado t, com flexão em um plano que envolve um eixo que passa pelo centro, o momento de inércia é
I = \frac{t^{4}}{12}.
A fibra extrema está a y = t/2 do eixo neutro. Substituindo:
\sigma_{\max} = \frac{M\,(t/2)}{t^{4}/12} = \frac{M\,t/2}{t^{4}/12} = \frac{M \cdot 6}{t^{3}}.
Logo a tensão máxima por flexão é
\sigma_{\max} = \frac{6M}{t^{3}}.
Impondo \sigma_{\max} = \sigma_{\text{adm}} = \sigma_{\text{rupt}}/6 e isolando t:
\frac{6M}{t^{3}} = \frac{\sigma_{\text{rupt}}}{6} \quad\Longrightarrow\quad t^{3} = \frac{36M}{\sigma_{\text{rupt}}} \quad\Longrightarrow\quad t = \left(\frac{36M}{\sigma_{\text{rupt}}}\right)^{1/3}.
Resumo: para flexão pura, t cresce com o cubo da raiz do momento; isolando dá a expressão acima.

Passo 5

Caso combinado: força axial F e momento M simultâneos.
A tensão máxima combinada na fibra extrema (compressiva) é a soma da contribuição axial e da contribuição por flexão:
\sigma_{\max} = \frac{F}{t^{2}} + \frac{6M}{t^{3}}.
Queremos \sigma_{\max} = \sigma_{\text{adm}} = \sigma_{\text{rupt}}/6. Então:
\frac{F}{t^{2}} + \frac{6M}{t^{3}} = \frac{\sigma_{\text{rupt}}}{6}.
Multiplicando por t^{3} para obter um polinômio em t:
F t + 6M = \frac{\sigma_{\text{rupt}}}{6}\,t^{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sigma_{\text{rupt}}}{6}\,t^{3} - F t - 6M = 0.
Isto é uma equação cúbica em t. Na prática, com F, M e \sigma_{\text{rupt}} conhecidos, você resolve numericamente essa cúbica (método de Newton-Raphson, ou usando calculadora/solvers) para obter t>0. Se algum dos termos for nulo (por exemplo M=0), volta-se aos casos anteriores.

Passo 6

Checagem de flambagem (Euler) para colunas esbeltas — quando aplicável.
Se a peça é longa em relação à sua espessura, a falha pode ocorrer por flambagem antes de atingir a tensão de ruptura. O carregamento crítico de Euler é
P_{\text{cr}} = \frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}},
onde:
  • E é o módulo de elasticidade do pinho (Pa),
  • I é o momento de inércia da seção (aqui I = t^{4}/12),
  • L é o comprimento da barra (m),
  • K é o fator de comprimento efetivo (depende das condições de contorno: apoio-ponta-livre etc.).
Exigindo P_{\text{cr}} \ge F (para evitar flambagem), substituímos I e isolamos t:
\frac{\pi^{2} E (t^{4}/12)}{(K L)^{2}} \ge F \quad\Longrightarrow\quad t^{4} \ge \frac{12 F (K L)^{2}}{\pi^{2} E} \quad\Longrightarrow\quad t \ge \left(\frac{12 F (K L)^{2}}{\pi^{2} E}\right)^{1/4}.
Portanto, mesmo que a verificação por tensões diretas dê um t menor, você deve verificar a flambagem e tomar o maior t entre os critérios de resistência (compressão/flexão) e estabilidade (flambagem).

Passo 7

Resumo prático do procedimento que você deve aplicar (passo a passo quando tiver os dados do Exemplo 12.02):
  1. Identifique o tipo de carregamento do exemplo: axial F, momento M (flexão), ou ambos.
  2. Pegue o valor numérico do limite de ruptura do pinho \sigma_{\text{rupt}} usado no Exemplo 12.02 (ou tabela).
  3. Calcule \sigma_{\text{adm}} = \sigma_{\text{rupt}}/6.
  4. Use a fórmula adequada:
    • compressão axial pura: t = \sqrt{6F/\sigma_{\text{rupt}}},\n - flexão pura: t = \big(36M/\sigma_{\text{rupt}}\big)^{1/3},\n - combinado: resolva \dfrac{\sigma_{\text{rupt}}}{6} t^{3} - F t - 6M = 0 numericamente,\n - verifique flambagem: t \ge \big(12 F (K L)^{2}/(\pi^{2} E)\big)^{1/4} quando aplicável.
  5. Escolha t como o maior valor exigido pelos critérios (resistência e estabilidade).
Se quiser, me passe os números do Exemplo 12.02 (valor de F ou M, \sigma_{\text{rupt}}, e caso necessário L e K) e eu faço a conta passo a passo para obter t.

Passo 8

Dicas práticas para prova (como operar sem calculadora poderosa):
  • Para o caso axial, a fórmula t = \sqrt{6F/\sigma_{\text{rupt}}} é simples de avaliar com raiz quadrada e operações básicas.
  • Para flexão, t = (36M/\sigma_{\text{rupt}})^{1/3} dá raiz cúbica; se não tiver raiz cúbica na calculadora, estime por aproximação (achando um valor cujo cubo esteja próximo) — pratique algumas raízes cúbicas antes da prova.
  • Para a cúbica do caso combinado, em prova geralmente ou te dão números que permitem fatorar ou tornam um termo nulo, ou então pedem expressão simbólica. Caso precise resolver numericamente, uma iteração simples de Newton com uma boa aproximação inicial (por exemplo usar o t do caso axial como chute inicial) converge rápido.
  • Não esqueça sempre checar flambagem para vigas/colunas esbeltas — muitos erros em prova vêm de esquecer esse critério.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a espessura porque faltam os dados do Exemplo 12.02 (força axial F ou momento fletor M, e o valor do limite de ruptura \sigma_{\text{rupt}} do pinho; também L e K se a flambagem for relevante).\n\nFórmulas para obter t quando os dados forem conhecidos:\n \text{compressão axial pura:}\quad t = \sqrt{\dfrac{6F}{\sigma_{\text{rupt}}}}ã\n \text{flexão pura (fibra comprimida):}\quad t = \left(\dfrac{36M}{\sigma_{\text{rupt}}}\right)^{1/3}ã\n \text{combinado (axial + flexão):}\quad \frac{\sigma_{\text{rupt}}}{6}\,t^{3} - F t - 6M = 0\quad\text{(resolver numericamente para \(t>0\))}ã\n \text{verificação de flambagem (Euler):}\quad t \ge \left(\dfrac{12 F (K L)^{2}}{\pi^{2} E}\right)^{1/4}çã

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