Foi feito um experimento injetando traçador na alimentação, com concentração de 75 \mathrm{mmol} / \mathrm{L}, em um reator de 10 L , sendo obtidos os seguintes dados.
\mathrm{t}(\mathrm{min}) \mathrm{C}(\mathrm{mmol} / \mathrm{L})
0 0
0,25 15
0,50 32
1,00 55
1,50 64
2,25 70
4,00 74
O reator será utilizado para conduzir a reação de decomposição: \mathrm{A} \rightarrow produtos, com velocidade específica na temperatura reacional de 2,4 \mathrm{~min}^{-1}, sendo a alimentação do reagente feita a 0,15 \mathrm{~L} / \mathrm{s}.
a) Com base no modelo de CSTR com volume morto e desvio, qual é a porcentagem da vazão desviada e a porcentagem de volume morto?
b) A partir desse modelo, qual é a conversão prevista?
c) Compare com a conversão que seria obtida caso o reator fosse ideal.

Passo 1

O que nos foi dado (peguei esses números do enunciado):
  • Concentração do traçador na alimentação (nível de degrau): \,C_0=75\\ \mathrm{mmol/L}\,.
  • Volume do reator: \,V=10\\ \mathrm{L}\,.
  • Vazão de alimentação: \,Q=0{,}15\\ \mathrm{L/s}=9\\ \mathrm{L/min}\, (converto para L/min porque os tempos do experimento estão em minutos).
  • Constante de velocidade (na temperatura de operação): \,k=2{,}4\\ \mathrm{min^{-1}}\,.
  • Curva de resposta ao degrau (peguei a tabela do enunciado):
    • t (min): 0,\\\ 0{,}25,\\\ 0{,}5,\\\ 1{,}0,\\\ 1{,}5,\\\ 2{,}25,\\\ 4{,}0
    • C(t) (mmol/L): 0,\\\ 15,\\\ 32,\\\ 55,\\\ 64,\\\ 70,\\\ 74
O que o enunciado pede:
a) Pela hipótese de um CSTR com desvio (bypass) e volume morto, determinar a porcentagem da vazão desviada (bypass) e a porcentagem de volume morto.
b) Com esse modelo, qual a conversão prevista para a reação de primeira ordem \mathrm{A}\rightarrow produtos.
c) Comparar com a conversão que seria obtida se o reator fosse ideal (CSTR ideal, sem desvio nem volume morto).

Passo 2

Modelo físico e equações que vou usar (explico passo a passo):
  • Defino x como a fração da vazão que desvia (bypass), ou seja, a fração de Q que vai direto para o escoamento sem passar pelo volume ativo do reator. Então a fração que passa pelo CSTR ativo é 1-x.
  • Defino y como a fração do volume que é “morto” (volume parado), ou seja V_{\rm morto}=yV. O volume ativo do CSTR é V_{\rm ativo}=V(1-y).
  • A vazão que atravessa o CSTR ativo é Q_{\rm ativo}=Q(1-x).
  • O tempo médio de residência do CSTR ativo é \tau=\dfrac{V_{\rm ativo}}{Q_{\rm ativo}}=\dfrac{V(1-y)}{Q(1-x)}.
  • Resposta ao degrau de concentração na alimentação para o esquema “bypass + CSTR ativo”: a concentração de saída do sistema ao longo do tempo é a soma da fração do fluxo que sai direto (bypass) mais a saída do CSTR. Isso dá a fórmula (derivei abaixo): C(t)=C_0\Big(1 - (1-x)\mathrm{e}^{-t/\tau}\Big).Explicando: no instante inicial o termo exponencial vale 1 e C(0^+)=C_0 x (salto imediato devido ao bypass); conforme t\to\infty o exponencial some e C(\infty)=C_0 (estado estacionário).
  • Para linearizar e estimar x e \tau a partir dos dados do degrau, reorganizo: 1-\frac{C(t)}{C_0}=(1-x)\mathrm{e}^{-t/\tau}.Tomando logaritmo (apenas para tempos após o salto inicial): \ln\!\Big(1-\frac{C(t)}{C_0}\Big)=\ln(1-x)-\frac{t}{\tau}.Assim, se eu definir Y(t)=\ln\!\big(1-C(t)/C_0\big), então Y(t) deve obedecer uma reta Y(t)=\ln(1-x)-t/\tau. A interceptação dá \ln(1-x) e a inclinação dá -1/\tau.

Passo 3

Preparação dos dados (faço a transformação Y(t)=\ln(1-C/C_0) para os pontos experimentais a partir de t=0{,}25\\ \mathrm{min}, pois t=0 é antes do degrau):
  • Calculo 1-C/C_0 e seu log para cada tempo (usando C_0=75):
    • t=0{,}25: 1-\dfrac{15}{75}=0{,}8, \ln(0{,}8)=-0{,}22314355.
    • t=0{,}5: 1-\dfrac{32}{75}=0{,}5733333, \ln(0{,}5733333)=-0{,}556433.
    • t=1{,}0: 1-\dfrac{55}{75}=0{,}2666667, \ln(0{,}2666667)=-1{,}321756.
    • t=1{,}5: 1-\dfrac{64}{75}=0{,}1466667, \ln(0{,}1466667)=-1{,}919979.
    • t=2{,}25: 1-\dfrac{70}{75}=0{,}0666667, \ln(0{,}0666667)=-2{,}708050.
    • t=4{,}0: 1-\dfrac{74}{75}=0{,}0133333, \ln(0{,}0133333)=-4{,}317488.
Esses são os pontos (t,Y) que vou ajustar por regressão linear para obter \ln(1-x) e -1/\tau.

Passo 4

Ajuste linear (regressão por mínimos quadrados) de Y(t)=a + b t, onde a=\ln(1-x) e b=-1/\tau.
Calculei (somando os pontos acima):
  • Número de pontos n=6.
  • \sum t = 9{,}5.
  • \sum Y = -11{,}04685.
  • \sum tY = -27{,}89879.
  • \sum t^2 = 24{,}625.
A fórmula da inclinação é
b=\frac{n\sum tY - \sum t\,\sum Y}{n\sum t^2 - (\sum t)^2}.
Substituindo os somatórios:
b=\frac{6(-27{,}89879) - 9{,}5(-11{,}04685)}{6(24{,}625)-9{,}5^2}=\frac{-62{,}448665}{57{,}5}=-1{,}086424.
Logo b=-1{,}086424=-\dfrac{1}{\tau}, e portanto
\tau=\frac{1}{1{,}086424}=0{,}9205\\ \mathrm{min}.
A interceptação é
a=\frac{\sum Y - b\sum t}{n}=\frac{-11{,}04685 - (-1{,}086424)(9{,}5)}{6}=-0{,}1209709.
Isto é a=\ln(1-x)=-0{,}1209709. Assim
1-x=\mathrm{e}^{a}= \mathrm{e}^{-0{,}1209709}=0{,}8862,
ou seja
x=1-0{,}8862=0{,}1138\quad\text{(fração de vazão desviada)}.çãã
Arredondando convenientemente: x\approx0{,}1138 11{,}4\%.

Passo 5

Determinando a fração de volume morto y a partir de \tau:
  • Lembre que \tau=\dfrac{V(1-y)}{Q(1-x)}. Reescrevendo: 1-y=\frac{\tau\,Q(1-x)}{V}.
Substituo os valores numéricos: \tau=0{,}9205\\ \mathrm{min}, Q=9\\ \mathrm{L/min}, 1-x=0{,}8862, V=10\\ \mathrm{L}.
Cálculo:
1-y=\frac{0{,}9205\cdot 9\cdot 0{,}8862}{10}=0{,}73387.
Então
y=1-0{,}73387=0{,}26613\quad\text{(fração de volume morto)}.çã
Arredondando: y\approx0{,}2661 26{,}6\% de volume morto.

Passo 6

Resposta da parte (a) (resumo numérico):
  • Fração de vazão desviada (bypass): x\approx0{,}1138 11{,}4\%.
  • Fração de volume morto: y\approx0{,}2661 26{,}6\%.

Passo 7

Agora calculo a conversão prevista pelo modelo (parte b).
  • Dentro do CSTR ativo (o pedaço que recebe 1-x da vazão), para reação de primeira ordem r=-kC e estado estacionário, a concentração na saída do CSTR ativo é C_{\rm cstr}=\frac{C_0}{1+k\tau},com \tau já encontrado.
  • A concentração total de saída do sistema (bypass + saída do CSTR) é C_{\rm out}=xC_0 + (1-x)C_{\rm cstr} = C_0\Big(x + \frac{1-x}{1+k\tau}\Big).
  • A conversão global é X=1-\frac{C_{\rm out}}{C_0}=1-\Big(x + \frac{1-x}{1+k\tau}\Big) =(1-x)\frac{k\tau}{1+k\tau}.
Substituo números: k=2{,}4\\ \mathrm{min^{-1}}, \tau=0{,}9205\\ \mathrm{min}, 1-x=0{,}8862.
  • Calculo k\tau=2{,}4\cdot0{,}9205=2{,}2092.
  • Conversão no CSTR ativo: \dfrac{k\tau}{1+k\tau}=\dfrac{2{,}2092}{1+2{,}2092}=\dfrac{2{,}2092}{3{,}2092}=0{,}6885 (68,85% dentro do CSTR ativo).
  • Conversão global: X=(1-x)\cdot 0{,}6885=0{,}8862\cdot0{,}6885=0{,}6102.
Ou seja X\approx0{,}6102 61{,}0\%.

Passo 8

Conversão para o reator ideal (parte c):
  • Se o reator fosse um CSTR ideal (sem desvio nem volume morto), o tempo de residência seria \tau_{\rm ideal}=\dfrac{V}{Q}=\dfrac{10}{9}=1{,}1111\\ \mathrm{min}.
  • Para reação de primeira ordem, a conversão seria X_{\rm ideal}=\frac{k\tau_{\rm ideal}}{1+k\tau_{\rm ideal}} =\frac{2{,}4\cdot1{,}1111}{1+2{,}4\cdot1{,}1111} =\frac{2{,}6667}{3{,}6667}=0{,}72727.
Ou seja X_{\rm ideal}\approx0{,}7273 72{,}7\%.
Comparação rápida: o modelo com desvio e volume morto dá 61{,}0\%, enquanto o CSTR ideal daria 72{,}7\%. O efeito combinado de bypass e volume morto reduz a conversão em relação ao ideal.

Passo 9

Comentário final e incentivo (rápido):
  • Resumindo: a curva de degrau foi usada para estimar a constante de tempo \tau e a fração de bypass x por linearização; o volume morto aparece reduzindo o volume efetivo ativo e entra no cálculo de \tau.
  • Está tudo certo numericamente, e a diferença entre 61{,}0\% e 72{,}7\% mostra como defeitos hidráulicos (bypass + zonas mortas) podem afetar bastante a eficiência de conversão. Força aí — você já tem os passos que apareceriam na prova para justificar e calcular tudo!

Resposta

x=11{,}4\% (vazão desviada)\newline
y=26{,}6\% (volume morto)\newline
X_{\text{modelo}}=61{,}0\%\newline
X_{\text{ideal}}=72{,}7\%

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