Foi pedido a um aluno para encontrar a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
A resposta do aluno foi
(a) À primeira vista, como você sabe que isso está errado?
(b) Que erro o aluno cometeu?
(c) Encontre o plano tangente correto.
(b) Que erro o aluno cometeu?
(c) Encontre o plano tangente correto.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede a equação do plano tangente no ponto com coordenadas
. Portanto o ponto na superfície é
com
A resposta do aluno fornecida é
As perguntas são: (a) como saber à primeira vista que isso está errado; (b) qual erro o aluno cometeu; (c) encontrar o plano tangente correto.
Passo 2
O que é, em termos práticos, um plano tangente aqui? Para uma superfície dada por
, a equação do plano tangente no ponto
vem da linearização (aproximação linear) de
em torno desse ponto:
Explicando cada termo:
-
é o valor da função no ponto (o plano tangente deve passar por esse ponto). -
é a derivada parcial de em relação a avaliada no ponto, ou seja, a inclinação (slope) da superfície na direção dos mantendo fixo. -
é a derivada parcial de em relação a avaliada no ponto, a inclinação na direção dos mantendo fixo.
Importante:e são NÚMEROS (constantes), não funções de ou . Por isso o plano tangente é sempre uma função afim (linear) de e .
Passo 3
Aplicando isso ao nosso
, calculemos as derivadas parciais:
Aqui expliquei: para obter
derivamos
em relação a
(dá
) e tratamos
como constante; para
derivamos
em relação a
(dá
) e tratamos
como constante.
Passo 4
Agora avaliamos essas derivadas no ponto
:
E já tínhamos
.
Passo 5
Substituindo na fórmula do plano tangente:
Colocando os números:
Agora simplifico passo a passo:
Portanto a forma linear final do plano tangente é
.
Passo 6
(a) À primeira vista como saber que a resposta do aluno está errada? Porque um plano tangente deve ser uma função linear (afim) de
e
: termos como
,
e uma constante. A resposta do aluno tem termos não-lineares em
e
: expandindo a expressão dele obtemos
que claramente contém
— não é um plano.
(b) Qual foi o erro do aluno? Ele deixou as derivadas parciais dependentes de
e
dentro da expressão do plano, isto é, escreveu algo do tipo
sem avaliar
e
no ponto
. Em outras palavras, esqueceu de avaliar as derivadas parciais no ponto; os coeficientes do plano devem ser constantes (os valores das derivadas no ponto), e não funções de
e
.
Observação útil (para ficar tranquilo): apesar de a expressão do aluno passar pelo ponto e ter as mesmas derivadas parciais no ponto (ou seja, coincide localmente em valor e inclinações naquele ponto), ela não é linear, logo não é um plano — e por isso a resposta está errada para “plano tangente”.
Resposta
(a) Porque a expressão do aluno não é linear em
e
; contém termos
, logo não é um plano tangente.
(b) O aluno não avaliou as derivadas parciais no ponto ; deixou
e
como funções de
em vez de usar os valores numéricos
e
.
(c) , que simplifica para
.
(b) O aluno não avaliou as derivadas parciais no ponto
(c)