Foi pedido a um aluno para encontrar a equação do plano tangente à superfície z=x^{3}-y^{2} no ponto (x, y)=(2,3).
A resposta do aluno foi
z=3 x^{2}(x-2)-2 y(y-3)-1
(a) À primeira vista, como você sabe que isso está errado?
(b) Que erro o aluno cometeu?
(c) Encontre o plano tangente correto.

Passo 1

O enunciado dá a superfície \;z=x^{3}-y^{2}\; e pede a equação do plano tangente no ponto com coordenadas (x,y)=(2,3). Portanto o ponto na superfície é (2,3,z_0) com
z_0 = f(2,3) = 2^{3}-3^{2}=8-9=-1.
A resposta do aluno fornecida é
z=3 x^{2}(x-2)-2 y(y-3)-1.
As perguntas são: (a) como saber à primeira vista que isso está errado; (b) qual erro o aluno cometeu; (c) encontrar o plano tangente correto.

Passo 2

O que é, em termos práticos, um plano tangente aqui? Para uma superfície dada por z=f(x,y), a equação do plano tangente no ponto (x_0,y_0,z_0) vem da linearização (aproximação linear) de f em torno desse ponto:
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Explicando cada termo:
  • \;f(x_0,y_0)=z_0\; é o valor da função no ponto (o plano tangente deve passar por esse ponto).
  • \;f_x(x_0,y_0)\; é a derivada parcial de f em relação a x avaliada no ponto, ou seja, a inclinação (slope) da superfície na direção dos x mantendo y fixo.
  • \;f_y(x_0,y_0)\; é a derivada parcial de f em relação a y avaliada no ponto, a inclinação na direção dos y mantendo x fixo.
    Importante: f_x(x_0,y_0) e f_y(x_0,y_0) são NÚMEROS (constantes), não funções de x ou y. Por isso o plano tangente é sempre uma função afim (linear) de x e y.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso f(x,y)=x^{3}-y^{2}, calculemos as derivadas parciais:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}-y^{2})=3x^{2},
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^{3}-y^{2})=\,-2y.
Aqui expliquei: para obter f_x derivamos x^3 em relação a x (dá 3x^2) e tratamos y como constante; para f_y derivamos -y^2 em relação a y (dá -2y) e tratamos x como constante.

Passo 4

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (x_0,y_0)=(2,3):
f_x(2,3)=3\cdot 2^{2}=3\cdot 4=12,
f_y(2,3)=-2\cdot 3=-6.
E já tínhamos f(2,3)=z_0=-1.

Passo 5

Substituindo na fórmula do plano tangente:
z = f(2,3) + f_x(2,3)(x-2) + f_y(2,3)(y-3).
Colocando os números:
z = -1 + 12(x-2) -6(y-3).
Agora simplifico passo a passo:
z = -1 + 12x -24 -6y +18,
z = 12x -6y +(-1-24+18) = 12x -6y -7.
Portanto a forma linear final do plano tangente é \;z=12x-6y-7\;.

Passo 6

(a) À primeira vista como saber que a resposta do aluno está errada? Porque um plano tangente deve ser uma função linear (afim) de x e y: termos como x, y e uma constante. A resposta do aluno tem termos não-lineares em x e y: expandindo a expressão dele obtemos
3x^{2}(x-2)-2y(y-3)-1 = 3x^{3}-6x^{2}-2y^{2}+6y-1,
que claramente contém x^{3},x^{2},y^{2} — não é um plano.
(b) Qual foi o erro do aluno? Ele deixou as derivadas parciais dependentes de x e y dentro da expressão do plano, isto é, escreveu algo do tipo f_x(x,y)(x-2)+f_y(x,y)(y-3) sem avaliar f_x e f_y no ponto (2,3). Em outras palavras, esqueceu de avaliar as derivadas parciais no ponto; os coeficientes do plano devem ser constantes (os valores das derivadas no ponto), e não funções de x e y.
Observação útil (para ficar tranquilo): apesar de a expressão do aluno passar pelo ponto e ter as mesmas derivadas parciais no ponto (ou seja, coincide localmente em valor e inclinações naquele ponto), ela não é linear, logo não é um plano — e por isso a resposta está errada para “plano tangente”.

Resposta

(a) Porque a expressão do aluno não é linear em x e y; contém termos x^{3},x^{2},y^{2}, logo não é um plano tangente.
(b) O aluno não avaliou as derivadas parciais no ponto (2,3); deixou f_x e f_y como funções de x,y em vez de usar os valores numéricos f_x(2,3)=12 e f_y(2,3)=-6.
(c) z=-1+12(x-2)-6(y-3), que simplifica para z=12x-6y-7.

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