No corpo ordenado
, exprima o conjunto abaixo como reunião de intervalos:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
O que o problema pede: expressar
como reunião (união) de intervalos reais. Informações relevantes fornecidas:
- A desigualdade envolve valores absolutos
e . - O sinal é “
”, portanto valores que tornam a desigualdade igual também pertencem a . - Os pontos onde os módulos mudam de expressão são
(de ) e (de ). Esses pontos dividem a reta em subintervalos onde podemos retirar os módulos por partes.
Passo 2
Comentário didático sobre valores absolutos e a estratégia: o valor absoluto de uma expressão linear
Portanto para resolver desigualdades com módulos, é comum dividir a reta em intervalos determinados pelas raízes das expressões dentro dos módulos e resolver a desigualdade em cada intervalo com as expressões lineares correspondentes. Aqui as raízes são
) e
(porque
). Assim vamos analisar três intervalos:
Passo 3
Resolver para
. Nessa região temos
e
. Substituindo:
A desigualdade torna-se
Calcule o lado esquerdo:
Logo a desigualdade é
Resolver essa desigualdade linear:
Intersecando com a condição
do caso, obtemos a solução neste caso:
Ou seja, contribuição para
é o intervalo
.
Passo 4
Resolver para
. Nessa região
e
. Substituindo:
A desigualdade fica
Simplificar o lado esquerdo:
Então a desigualdade é
Resolver passo a passo:
Multiplicando por
e invertendo o sinal:
Intersecando com o intervalo do caso
, obtemos
ou seja, o intervalo
contribui para
.
Passo 5
Resolver para
. Nessa região tanto
quanto
. Logo
A desigualdade é
Calcular o lado esquerdo:
Assim temos
Resolver:
Intersecando com
obtemos
ou seja, o intervalo
pertence a
.
Passo 6
Juntar as soluções encontradas em cada caso. As contribuições foram:
- de
: ; - de
: ; - de
: .
Unindo e simplificando (note que
porque os intervalos se tocam em
), obtemos a solução final: