No corpo ordenado \mathbb{R}, exprima o conjunto abaixo como reunião de intervalos:
X=\{x \in \mathbb{R} /|x-2|-|x+4| \leq 1-x\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
X=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-2|-|x+4|\leq 1-x\}.
O que o problema pede: expressar X como reunião (união) de intervalos reais. Informações relevantes fornecidas:
  • A desigualdade envolve valores absolutos |x-2| e |x+4|.
  • O sinal é “ \leq”, portanto valores que tornam a desigualdade igual também pertencem a X.
  • Os pontos onde os módulos mudam de expressão são x=-4 (de |x+4|) e x=2 (de |x-2|). Esses pontos dividem a reta em subintervalos onde podemos retirar os módulos por partes.

Passo 2

Comentário didático sobre valores absolutos e a estratégia: o valor absoluto de uma expressão linear ax+b\) se define peça a peça: \[|ax+b|=\begin{cases} ax+b,&\text{se }ax+b\ge0,\\\\ -(ax+b),&\text{se }ax+b<0. \end{cases}
Portanto para resolver desigualdades com módulos, é comum dividir a reta em intervalos determinados pelas raízes das expressões dentro dos módulos e resolver a desigualdade em cada intervalo com as expressões lineares correspondentes. Aqui as raízes são x=-4\] (porque \(x+4=0) e x=2 (porque x-2=0). Assim vamos analisar três intervalos:
(-\infty,-4],\qquad [-4,2],\qquad [2,\infty).

Passo 3

Resolver para x\le-4. Nessa região temos x+4\le0 e x-2\le0. Substituindo:
|x-2|=-(x-2)=2-x,\qquad |x+4|=-(x+4)=-x-4.
A desigualdade torna-se
(2-x)-(-x-4)\le 1-x.
Calcule o lado esquerdo:
(2-x)-(-x-4)=2-x+x+4=6.
Logo a desigualdade é
6\le 1-x.
Resolver essa desigualdade linear:
6\le 1-x\quad\Longleftrightarrow\quad x+6\le 1\quad\Longleftrightarrow\quad x\le -5.
Intersecando com a condição x\le-4 do caso, obtemos a solução neste caso:
x\le -5.
Ou seja, contribuição para X é o intervalo (-\infty,-5].

Passo 4

Resolver para -4\le x\le 2. Nessa região x+4\ge0 e x-2\le0. Substituindo:
|x+4|=x+4,\qquad |x-2|=2-x.
A desigualdade fica
(2-x)-(x+4)\le 1-x.
Simplificar o lado esquerdo:
(2-x)-(x+4)=2-x-x-4=-2x-2=-2(x+1).
Então a desigualdade é
-2(x+1)\le 1-x.
Resolver passo a passo:
-2x-2\le 1-x\quad\Longleftrightarrow\quad -2x+ x\le 1+2\quad\Longleftrightarrow\quad -x\le 3.
Multiplicando por -1 e invertendo o sinal:
x\ge -3.
Intersecando com o intervalo do caso [-4,2], obtemos
-3\le x\le 2,
ou seja, o intervalo [-3,2] contribui para X.

Passo 5

Resolver para x\ge 2. Nessa região tanto x-2\ge0 quanto x+4\ge0. Logo
|x-2|=x-2,\qquad |x+4|=x+4.
A desigualdade é
(x-2)-(x+4)\le 1-x.
Calcular o lado esquerdo:
(x-2)-(x+4)=x-2-x-4=-6.
Assim temos
-6\le 1-x.
Resolver:
-6\le 1-x\quad\Longleftrightarrow\quad x-6\le 1\quad\Longleftrightarrow\quad x\le 7.
Intersecando com x\ge 2 obtemos
2\le x\le 7,
ou seja, o intervalo [2,7] pertence a X.

Passo 6

Juntar as soluções encontradas em cada caso. As contribuições foram:
  • de x\le-4: (-\infty,-5];
  • de -4\le x\le2: [-3,2];
  • de x\ge2: [2,7].
Unindo e simplificando (note que [-3,2]\cup[2,7]=[-3,7] porque os intervalos se tocam em 2), obtemos a solução final:
X = (-\infty,-5]\\ \cup\\ [-3,7].

Resposta

(-\infty,-5]\cup[-3,7]

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