Considere o conjunto A=\left\{\left.\frac{1}{2^{n}} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}\right\}, Demonstre que \inf A=0 e \sup A=\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
A=\left\{\left.\frac{1}{2^{n}} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}\right\}.
Assumirei aqui a convenção \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}, pois assim o maior elemento da sequência é \tfrac{1}{2}. O que é pedido:
  • Mostrar que \inf A=0.
  • Mostrar que \sup A=\dfrac{1}{2}.
Vou trabalhar passo a passo, lembrando as definições de limite inferior (infimum) e superior (supremum) quando necessário.

Passo 2

Definição útil (lembrando devagar): um número u é um maiorante (upper bound) de A se para todo a\in A valha a\le u. O supremo \sup A é o menor dos maiorantes (o “menor upper bound”). Se o maior elemento de A existe, então ele é o supremo.
Mostrando que \dfrac{1}{2} é um maiorante de A. Para todo n\in\mathbb{N} temos n\ge1, então 2^{n}\ge2. Portanto
\frac{1}{2^{n}}\le\frac{1}{2}
para todo n. Assim \dfrac{1}{2} é um maiorante de A.
Além disso, para n=1 obtemos exatamente \dfrac{1}{2^{1}}=\dfrac{1}{2}, ou seja, \dfrac{1}{2}\in A. Como \dfrac{1}{2} pertence a A e é maiorante, ele é o máximo de A.

Passo 3

Conclusão sobre o supremo: sendo \dfrac{1}{2} um maiorante e um elemento de A, ele é o maior elemento de A. Logo é o menor maiorante possível (não existe maiorante menor que ele que ainda seja \ge todos os elementos), portanto
\sup A=\frac{1}{2}.
(Outra forma de ver: se b<\tfrac{1}{2} então tomando n=1 temos \tfrac{1}{2}\in A e \tfrac{1}{2}>b, então b não é maiorante. Isso confirma que \tfrac{1}{2} é o menor maiorante.)

Passo 4

Agora vemos o ínfimo. Definição útil: um número \ell é um minorante (lower bound) de A se para todo a\in A valha \ell\le a. O ínfimo \inf A é o maior dos minorantes (o “maior lower bound”).
Primeiro mostrar que 0 é um minorante. Para todo n\in\mathbb{N} tem-se \dfrac{1}{2^{n}}>0. Logo 0\le\frac{1}{2^{n}} para todo n, isto é, 0 é um minorante de A.

Passo 5

Mostrar que nenhum número maior que 0 é um minorante (isso prova que 0 é o maior minorante, ou seja, o ínfimo). Seja \varepsilon>0. Preciso encontrar n\in\mathbb{N} com \dfrac{1}{2^{n}}<\varepsilon.
Argumento para escolher n: a sequência 2^{n} cresce sem limite (fica arbitrariamente grande) porque, por exemplo, vale a desigualdade 2^{n}\ge n+1 para todo n\in\mathbb{N} (prova por indução: para n=1 tem 2^{1}=2\ge2; se 2^{k}\ge k+1 então 2^{k+1}=2\cdot 2^{k}\ge 2(k+1)\ge k+2). Como n+1 pode tornar-se maior que qualquer número fixo, também 2^{n} pode ser feito maior que qualquer número fixo.
Em particular, existe N\in\mathbb{N} tal que
2^{N}>\frac{1}{\varepsilon}.
Para esse N obtemos \dfrac{1}{2^{N}}<\varepsilon. Portanto, dado qualquer \varepsilon>0, existe um elemento de A menor que \varepsilon. Isso mostra que nenhum número positivo pode ser minorante de A.

Passo 6

Consequência: 0 é um minorante de A e não existe minorante maior que 0. Portanto 0 é o maior minorante, isto é,
\inf A = 0.

Resposta

\inf A = 0
\sup A = \dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados