Foi realizada uma pesquisa com jovens adultos (mulheres e homens, com idade entre 19 e 25 anos) e perguntou-se: “Quais chances você acredita ter de alcançar uma renda maior do que a da classe média aos 30 anos de idade?”. As respostas foram organizadas na tabela a seguir. Ao nível de significância de 5 \%, discuta a relação entre gênero e a avaliação dos jovens adultos sobre suas chances de serem ricas aos 30 anos. Enuncie as hipóteses a serem testadas.
Chance Gênero
Feminino Masculino Total
Quase nenhuma 96 98 194
Alguma 426 286 712
50 \% 696 720 1416
Boa 663 758 1421
Quase certa 486 597 1083
Total 2367 2459 4826

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com as contagens das respostas de jovens adultos (por gênero) para a pergunta sobre as chances de alcançar renda maior que a classe média aos 30 anos. As informações relevantes são:
\begin{array}{lccr} \text{Chance} & \text{Feminino} & \text{Masculino} & \text{Total} \\\ \hline \text{Quase nenhuma} & 96 & 98 & 194 \\\ \text{Alguma} & 426 & 286 & 712 \\\ \text{50 \%} & 696 & 720 & 1416 \\\ \text{Boa} & 663 & 758 & 1421 \\\ \text{Quase certa} & 486 & 597 & 1083 \\\ \hline \text{Total} & 2367 & 2459 & 4826 \end{array}
Pergunta que o enunciado faz (o que devemos responder): ao nível de significância de 5\%, discutir se existe relação entre gênero e a avaliação das chances (ou seja, testar se gênero e avaliação são independentes ou associados). Além disso, enunciar as hipóteses a serem testadas.

Passo 2

Qual teste vamos usar (explicação didática do método): aqui temos duas variáveis categóricas (gênero com duas categorias e avaliação com cinco categorias). O teste clássico para verificar associação entre duas variáveis categóricas em tabela de contingência é o teste qui-quadrado de independência (teste de Pearson). Vou explicar as fórmulas e ideias antes de aplicar.
  • Ideia básica: se gênero e avaliação são independentes, a frequência observada em cada célula deve ser aproximadamente igual à frequência esperada, calculada apenas a partir dos totais marginais (sem associação).
  • Fórmula para contagem esperada na célula da linha i e coluna j:
E_{ij}=\frac{(\text{total da linha }i)\times(\text{total da coluna }j)}{N},
onde N é o total geral de observações. Aqui cada E_{ij} é o número que esperaríamos ver nessa célula se não houvesse associação.
  • Estatística do teste (qui-quadrado de Pearson):
\chi^2=\sum_{i}\sum_{j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}},
onde O_{ij} é a frequência observada.
  • Graus de liberdade:
\text{gl}=(r-1)(c-1),
onde r é o número de linhas (categorias de avaliação) e c o número de colunas (aqui gênero).
  • Regra de decisão: com nível de significância \alpha=0{,}05, comparamos \chi^2 com o valor crítico da distribuição \chi^2 com os graus de liberdade apropriados, ou calculamos o p-valor. Se \chi^2 observado for maior que o crítico (ou p-valor < \alpha), rejeitamos a hipótese de independência.

Passo 3

Enuncie as hipóteses do teste (a pedido do enunciado). Vou escrever-as claramente em forma matemática:
H_{0}:\text{ Gênero e avaliação são independentes (sem associação).}êçããçã
H_{1}:\text{ Gênero e avaliação não são independentes (há associação).}êçãããáçã

Passo 4

Calcular as contagens esperadas usando a fórmula \;E_{ij}=\dfrac{(\text{total linha }i)\times(\text{total coluna }j)}{N}\;. O total geral é N=4826. As totais das colunas são \text{Feminino}=2367 e \text{Masculino}=2459. Vou calcular E_{ij} para cada linha:
  • Linha “Quase nenhuma” (total 194):
E_{\text{QN,F}}=\frac{194\times2367}{4826}\approx95{,}151,\qquad E_{\text{QN,M}}=194-95{,}151\approx98{,}849.
  • Linha “Alguma” (total 712):
E_{\text{Alg,F}}=\frac{712\times2367}{4826}\approx349{,}213,\qquad E_{\text{Alg,M}}=712-349{,}213\approx362{,}787.
  • Linha “50%” (total 1416):
E_{50\%,F}=\frac{1416\times2367}{4826}\approx694{,}503,\qquad E_{50\%,M}=1416-694{,}503\approx721{,}497.
  • Linha “Boa” (total 1421):
E_{\text{Boa,F}}=\frac{1421\times2367}{4826}\approx696{,}955,\qquad E_{\text{Boa,M}}=1421-696{,}955\approx724{,}045.
  • Linha “Quase certa” (total 1083):
E_{\text{QC,F}}=\frac{1083\times2367}{4826}\approx531{,}177,\qquad E_{\text{QC,M}}=1083-531{,}177\approx551{,}823.
Observação: verifiquei que todos os E_{ij} são bem maiores que 5, portanto a condição de validade do teste qui-quadrado (esperados não muito pequenos) está atendida.

Passo 5

Calcular a contribuição de cada célula para \chi^2 usando \dfrac{(O_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}}. Vou mostrar os cálculos principais (arredondados) para cada célula:
  • “Quase nenhuma”:
    \frac{(96-95{,}151)^2}{95{,}151}\approx0{,}00757,\qquad \frac{(98-98{,}849)^2}{98{,}849}\approx0{,}00729.
  • “Alguma”:
    \frac{(426-349{,}213)^2}{349{,}213}\approx16{,}887,\qquad \frac{(286-362{,}787)^2}{362{,}787}\approx16{,}266.
  • “50%”:
    \frac{(696-694{,}503)^2}{694{,}503}\approx0{,}00323,\qquad \frac{(720-721{,}497)^2}{721{,}497}\approx0{,}00311.
  • “Boa”:
    \frac{(663-696{,}955)^2}{696{,}955}\approx1{,}6555,\qquad \frac{(758-724{,}045)^2}{724{,}045}\approx1{,}5935.
  • “Quase certa”:
    \frac{(486-531{,}177)^2}{531{,}177}\approx3{,}843,\qquad \frac{(597-551{,}823)^2}{551{,}823}\approx3{,}700.

Passo 6

Somar todas as contribuições para obter a estatística \chi^2:
\chi^2 \approx 0{,}00757+0{,}00729+16{,}887+16{,}266+0{,}00323+0{,}00311+1{,}6555+1{,}5935+3{,}843+3{,}700 \approx 43{,}97.
Graus de liberdade:
\text{gl}=(5-1)(2-1)=4.

Passo 7

Decisão do teste: comparar com o valor crítico ou p-valor. O valor crítico de \chi^2 para \text{gl}=4 e \alpha=0{,}05 é aproximadamente 9{,}488. Como \chi^2_{\text{obs}}\approx43{,}97 é muito maior que 9{,}488, rejeitamos H_{0}. O p-valor correspondente é extremamente pequeno (muito menor que 0{,}05), confirmando a rejeição.

Passo 8

Interpretação prática e como reconhecer isso numa prova: a rejeição de H_{0} significa que há evidência estatística, ao nível de 5\%, de associação entre gênero e a avaliação das chances aos 30 anos — ou seja, a distribuição das respostas difere entre mulheres e homens. Para interpretar a direção da associação, olhe para os resíduos padronizados \dfrac{O_{ij}-E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}}: células com resíduos positivos indicam contagens maiores que o esperado; negativos indicam menores que o esperado. Aqui os resíduos mais marcantes são:
  • “Alguma”: mulheres apresentam um excesso grande de respostas (resíduo padronizado ≈ +4{,}1), enquanto homens têm um déficit correspondente (≈ -4{,}0). Isso é a maior contribuição para o \chi^2.
  • “Boa” e “Quase certa”: homens têm contagens maiores que as esperadas (resíduos positivos, especialmente em “Quase certa” com resíduo ≈ +1{,}96), enquanto mulheres têm déficit nessas categorias.
Em palavras correntes: neste conjunto de dados, as mulheres tendem a concentrar-se mais na categoria intermediária “Alguma” (mais do que seria esperado se não houvesse diferença), e os homens estão relativamente mais presentes nas categorias mais otimistas (“Boa” e “Quase certa”). Portanto há associação e a direção sugere que os homens, em média, são mais otimistas quanto às chances de serem ricos aos 30 anos do que as mulheres.

Resposta

H_{0}: Gênero e avaliação são independentes (sem associação).
H_{1}: Gênero e avaliação não são independentes (há associação).
Decisão: Rejeita-se H_{0} ( \chi^2\approx43{,}97, \text{gl}=4, p\ll0{,}05). Conclusão: existe associação entre gênero e avaliação; homens tendem a escolher mais as categorias mais otimistas (“Boa”, “Quase certa”) enquanto mulheres têm excesso na categoria “Alguma”.

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