Foi realizada uma pesquisa com jovens adultos (mulheres e homens, com idade entre 19 e 25 anos) e perguntou-se: “Quais chances você acredita ter de alcançar uma renda maior do que a da classe média aos 30 anos de idade?”. As respostas foram organizadas na tabela a seguir. Ao nível de significância de
, discuta a relação entre gênero e a avaliação dos jovens adultos sobre suas chances de serem ricas aos 30 anos. Enuncie as hipóteses a serem testadas.
Chance
Gênero
Feminino
Masculino
Total
Quase nenhuma
96
98
194
Alguma
426
286
712
696
720
1416
Boa
663
758
1421
Quase certa
486
597
1083
Total
2367
2459
4826
| Chance | Gênero | ||
| Feminino | Masculino | Total | |
| Quase nenhuma | 96 | 98 | 194 |
| Alguma | 426 | 286 | 712 |
|
|
696 | 720 | 1416 |
| Boa | 663 | 758 | 1421 |
| Quase certa | 486 | 597 | 1083 |
| Total | 2367 | 2459 | 4826 |
Passo 1
O enunciado fornece uma tabela com as contagens das respostas de jovens adultos (por gênero) para a pergunta sobre as chances de alcançar renda maior que a classe média aos 30 anos. As informações relevantes são:
Pergunta que o enunciado faz (o que devemos responder): ao nível de significância de
, discutir se existe relação entre gênero e a avaliação das chances (ou seja, testar se gênero e avaliação são independentes ou associados). Além disso, enunciar as hipóteses a serem testadas.
Passo 2
Qual teste vamos usar (explicação didática do método): aqui temos duas variáveis categóricas (gênero com duas categorias e avaliação com cinco categorias). O teste clássico para verificar associação entre duas variáveis categóricas em tabela de contingência é o teste qui-quadrado de independência (teste de Pearson). Vou explicar as fórmulas e ideias antes de aplicar.
- Ideia básica: se gênero e avaliação são independentes, a frequência observada em cada célula deve ser aproximadamente igual à frequência esperada, calculada apenas a partir dos totais marginais (sem associação).
- Fórmula para contagem esperada na célula da linha
e coluna :
onde
é o total geral de observações. Aqui cada
é o número que esperaríamos ver nessa célula se não houvesse associação.
- Estatística do teste (qui-quadrado de Pearson):
onde
é a frequência observada.
- Graus de liberdade:
onde
é o número de linhas (categorias de avaliação) e
o número de colunas (aqui gênero).
- Regra de decisão: com nível de significância
, comparamos com o valor crítico da distribuição com os graus de liberdade apropriados, ou calculamos o p-valor. Se observado for maior que o crítico (ou p-valor < ), rejeitamos a hipótese de independência.
Passo 3
Enuncie as hipóteses do teste (a pedido do enunciado). Vou escrever-as claramente em forma matemática:
Passo 4
Calcular as contagens esperadas usando a fórmula
. O total geral é
. As totais das colunas são
e
. Vou calcular
para cada linha:
- Linha “Quase nenhuma” (total
):
- Linha “Alguma” (total
):
- Linha “50%” (total
):
- Linha “Boa” (total
):
- Linha “Quase certa” (total
):
Observação: verifiquei que todos os
são bem maiores que 5, portanto a condição de validade do teste qui-quadrado (esperados não muito pequenos) está atendida.
Passo 5
Calcular a contribuição de cada célula para
usando
. Vou mostrar os cálculos principais (arredondados) para cada célula:
-
“Quase nenhuma”:
-
“Alguma”:
-
“50%”:
-
“Boa”:
-
“Quase certa”:
Passo 6
Somar todas as contribuições para obter a estatística
:
Graus de liberdade:
Passo 7
Decisão do teste: comparar com o valor crítico ou p-valor. O valor crítico de
para
e
é aproximadamente
. Como
é muito maior que
, rejeitamos
. O p-valor correspondente é extremamente pequeno (muito menor que
), confirmando a rejeição.
Passo 8
Interpretação prática e como reconhecer isso numa prova: a rejeição de
significa que há evidência estatística, ao nível de
, de associação entre gênero e a avaliação das chances aos 30 anos — ou seja, a distribuição das respostas difere entre mulheres e homens. Para interpretar a direção da associação, olhe para os resíduos padronizados
: células com resíduos positivos indicam contagens maiores que o esperado; negativos indicam menores que o esperado. Aqui os resíduos mais marcantes são:
- “Alguma”: mulheres apresentam um excesso grande de respostas (resíduo padronizado ≈
), enquanto homens têm um déficit correspondente (≈ ). Isso é a maior contribuição para o . - “Boa” e “Quase certa”: homens têm contagens maiores que as esperadas (resíduos positivos, especialmente em “Quase certa” com resíduo ≈
), enquanto mulheres têm déficit nessas categorias.
Em palavras correntes: neste conjunto de dados, as mulheres tendem a concentrar-se mais na categoria intermediária “Alguma” (mais do que seria esperado se não houvesse diferença), e os homens estão relativamente mais presentes nas categorias mais otimistas (“Boa” e “Quase certa”). Portanto há associação e a direção sugere que os homens, em média, são mais otimistas quanto às chances de serem ricos aos 30 anos do que as mulheres.
Resposta
Decisão: Rejeita-se