A proprietária de um restaurante especializado em refeições leves, estava interessada em aprender mais sobre os padrões de demanda dos clientes, no que se refere ao período de final de semana, de sexta-feira a domingo. Foram coletados dados correspondentes a 640 clientes, sobre o tipo de prato principal pedido e o tipo de sobremesa pedido, e esses dados foram organizados na tabela a seguir. Ao nível de significância de 5 \%, existem evidências de uma associação entre o tipo de sobremesa e o tipo de prato principal? Enuncie as hipóteses a serem testadas.
Tipo de sobremesa Tipo de prato principal
Carne Frango Peixe Massa Total
Sorvete 13 8 12 14 47
Torta 98 12 29 6 145
Fruta 8 10 6 12 36
Nenhuma 124 98 149 41 412
Total 243 128 196 73 640

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar, ao nível de significância de 5\%, se há evidências de associação entre o tipo de sobremesa e o tipo de prato principal (sexta a domingo). Também pede que enunciemos as hipóteses a serem testadas.
Dados fornecidos (peguei os valores diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{lcccc|c} \text{Tipo de sobremesa} & \text{Carne} & \text{Frango} & \text{Peixe} & \text{Massa} & \text{Total} \\hline \text{Sorvete} & 13 & 8 & 12 & 14 & 47\\\ \text{Torta} & 98 & 12 & 29 & 6 & 145\\\ \text{Fruta} & 8 & 10 & 6 & 12 & 36\\\ \text{Nenhuma} & 124& 98 &149 & 41 & 412\\hline \text{Total} & 243&128 &196 & 73 & 640 \end{array}
Nível de significância: \alpha=0,05.
Pergunta central: existe associação (dependência) entre as variáveis “tipo de sobremesa” e “tipo de prato principal”?

Passo 2

Qual teste vamos aplicar e por quê (aula rápida e intuitiva):
  • Quando temos duas variáveis categóricas organizadas numa tabela de contingência (aqui 4\times4), o teste clássico para verificar associação é o teste qui‑quadrado de independência.
  • Ideia do teste: sob a hipótese de independência, a frequência esperada em cada célula é o produto do total da linha pelo total da coluna dividido pelo total geral; se as frequências observadas diferem muito dessas esperadas, há evidência de associação.
  • Fórmulas importantes: \text{Frequência esperada: } \; E_{ij}=\frac{(\text{total da linha }i)\cdot(\text{total da coluna }j)}{N},ê
\text{Estatística qui‑quadrado: } \; \chi^2=\sum_{i}\sum_{j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}},í
onde O_{ij} é a frequência observada na célula i,j, E_{ij} é a frequência esperada e N é o total (aqui N=640).
  • Hipóteses (enuncie simples e direta, como o enunciado pediu): H_0:\\ \text{Tipo de sobremesa é independente do tipo de prato principal (sem associação).}éçã
H_1:\\ \text{Tipo de sobremesa não é independente do tipo de prato principal (há associação).}ãéáçã

Passo 3

Calcular as frequências esperadas E_{ij}. Vou mostrar o cálculo por espécie de sobremesa (usei a fórmula E_{ij}=(\text{linha}_i\cdot\text{coluna}_j)/640).
Para a linha “Sorvete” ( \text{total}=47):
\begin{aligned} E_{\text{Sorvete,Carne}}&=\frac{47\cdot243}{640}=17{,}8453125,\\\ E_{\text{Sorvete,Frango}}&=\frac{47\cdot128}{640}=9{,}4,\\\ E_{\text{Sorvete,Peixe}}&=\frac{47\cdot196}{640}=14{,}39375,\\\ E_{\text{Sorvete,Massa}}&=\frac{47\cdot73}{640}=5{,}3609375. \end{aligned}
Para a linha “Torta” ( \text{total}=145):
\begin{aligned} E_{\text{Torta,Carne}}&=\frac{145\cdot243}{640}=55{,}0546875,\\\ E_{\text{Torta,Frango}}&=\frac{145\cdot128}{640}=29{,}0,\\\ E_{\text{Torta,Peixe}}&=\frac{145\cdot196}{640}=44{,}40625,\\\ E_{\text{Torta,Massa}}&=\frac{145\cdot73}{640}=16{,}5390625. \end{aligned}
Para a linha “Fruta” ( \text{total}=36):
\begin{aligned} E_{\text{Fruta,Carne}}&=\frac{36\cdot243}{640}=13{,}66875,\\\ E_{\text{Fruta,Frango}}&=\frac{36\cdot128}{640}=7{,}2,\\\ E_{\text{Fruta,Peixe}}&=\frac{36\cdot196}{640}=11{,}025,\\\ E_{\text{Fruta,Massa}}&=\frac{36\cdot73}{640}=4{,}10625. \end{aligned}
Para a linha “Nenhuma” ( \text{total}=412):
\begin{aligned} E_{\text{Nenhuma,Carne}}&=\frac{412\cdot243}{640}=156{,}43125,\\\ E_{\text{Nenhuma,Frango}}&=\frac{412\cdot128}{640}=82{,}4,\\\ E_{\text{Nenhuma,Peixe}}&=\frac{412\cdot196}{640}=126{,}175,\\\ E_{\text{Nenhuma,Massa}}&=\frac{412\cdot73}{640}=46{,}99375. \end{aligned}
(Verifique: as esperadas de cada linha somam o total da linha.)

Passo 4

Calcular cada contribuição \dfrac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}. Vou apresentar os valores aproximados (cada conta vem de aplicar a fórmula direta):
Linha “Sorvete”:
\begin{aligned} \frac{(13-17{,}8453)^2}{17{,}8453}&\approx1{,}316,\\\ \frac{(8-9{,}4)^2}{9{,}4}&\approx0{,}209,\\\ \frac{(12-14{,}3938)^2}{14{,}3938}&\approx0{,}398,\\\ \frac{(14-5{,}36094)^2}{5{,}36094}&\approx13{,}925. \end{aligned}
Linha “Torta”:
\begin{aligned} \frac{(98-55{,}0547)^2}{55{,}0547}&\approx33{,}520,\\\ \frac{(12-29)^2}{29}&\approx9{,}966,\\\ \frac{(29-44{,}4063)^2}{44{,}4063}&\approx5{,}343,\\\ \frac{(6-16{,}5391)^2}{16{,}5391}&\approx6{,}714. \end{aligned}
Linha “Fruta”:
\begin{aligned} \frac{(8-13{,}6688)^2}{13{,}6688}&\approx2{,}351,\\\ \frac{(10-7{,}2)^2}{7{,}2}&\approx1{,}089,\\\ \frac{(6-11{,}025)^2}{11{,}025}&\approx2{,}289,\\\ \frac{(12-4{,}10625)^2}{4{,}10625}&\approx15{,}185. \end{aligned}
Linha “Nenhuma”:
\begin{aligned} \frac{(124-156{,}43125)^2}{156{,}43125}&\approx6{,}724,\\\ \frac{(98-82{,}4)^2}{82{,}4}&\approx2{,}953,\\\ \frac{(149-126{,}175)^2}{126{,}175}&\approx4{,}125,\\\ \frac{(41-46{,}99375)^2}{46{,}99375}&\approx0{,}764. \end{aligned}

Passo 5

Somando todas as contribuições obtemos a estatística qui‑quadrado:
\chi^2\approx 1{,}316+0{,}209+0{,}398+13{,}925+33{,}520+9{,}966+5{,}343+6{,}714+2{,}351+1{,}089+2{,}289+15{,}185+6{,}724+2{,}953+4{,}125+0{,}764\approx 106{,}87.
Portanto \chi^2\approx 106{,}9.

Passo 6

Graus de liberdade e decisão:
  • Existem r=4 linhas e c=4 colunas, logo os graus de liberdade são \text{gl}=(r-1)(c-1)=(4-1)(4-1)=3\cdot3=9.
  • Valor crítico para \alpha=0{,}05 e \text{gl}=9: \chi^2_{0{,}95,\,9}\approx 16{,}919.
  • Regra de decisão: rejeitar H_0 se \chi^2>16{,}919.
Como \chi^2\approx 106{,}9 \gg 16{,}919, rejeitamos H_0. O p‑valor associado é extremamente pequeno (muito menor que 0{,}001), então a evidência contra H_0 é muito forte.

Passo 7

Verificação das condições do teste (checagem prática):
  • Regra prática: espera‑se que a maioria das frequências esperadas seja \ge 5 e que nenhuma seja muito pequena. Aqui apenas uma célula tem E ligeiramente abaixo de 5 (a célula \text{Fruta,Massa} tem E=4{,}10625), e nenhuma esperada é menor que 1. Assim, a aplicação do teste é razoável; se necessário, poderia-se agrupar categorias para evitar células pequenas, mas não é obrigatório aqui porque é apenas 1 célula levemente abaixo de 5.

Passo 8

Interpretação final e incentivo:
  • Conclusão prática: há evidências estatísticas fortes de que o tipo de sobremesa pedido está associado ao tipo de prato principal no período analisado. Em termos de negócio, isso significa que certos pratos principais estão relacionados a preferências por determinadas sobremesas — informação útil para planejamento de cardápio e promoções. Você está indo bem — a conta ficou grande, mas o procedimento é simples: calcular esperadas, somar (O-E)^2/E e comparar com o critical. Dá pra fazer numa prova se organizar o cálculo com calma!

Resposta

H_0:\\ \text{Tipo de sobremesa é independente do tipo de prato principal.}é
H_1:\\ \text{Tipo de sobremesa não é independente do tipo de prato principal (há associação).}ãéáçã
Rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}05 ( \chi^2\approx 106{,}9, \text{gl}=9, valor crítico 16{,}919); há evidências fortes de associação entre tipo de sobremesa e tipo de prato principal.

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