A proprietária de um restaurante especializado em refeições leves, estava interessada em aprender mais sobre os padrões de demanda dos clientes, no que se refere ao período de final de semana, de sexta-feira a domingo. Foram coletados dados correspondentes a 640 clientes, sobre o tipo de prato principal pedido e o tipo de sobremesa pedido, e esses dados foram organizados na tabela a seguir. Ao nível de significância de
, existem evidências de uma associação entre o tipo de sobremesa e o tipo de prato principal? Enuncie as hipóteses a serem testadas.
Tipo de sobremesa
Tipo de prato principal
Carne
Frango
Peixe
Massa
Total
Sorvete
13
8
12
14
47
Torta
98
12
29
6
145
Fruta
8
10
6
12
36
Nenhuma
124
98
149
41
412
Total
243
128
196
73
640
| Tipo de sobremesa | Tipo de prato principal | ||||
| Carne | Frango | Peixe | Massa | Total | |
| Sorvete | 13 | 8 | 12 | 14 | 47 |
| Torta | 98 | 12 | 29 | 6 | 145 |
| Fruta | 8 | 10 | 6 | 12 | 36 |
| Nenhuma | 124 | 98 | 149 | 41 | 412 |
| Total | 243 | 128 | 196 | 73 | 640 |
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar, ao nível de significância de
, se há evidências de associação entre o tipo de sobremesa e o tipo de prato principal (sexta a domingo). Também pede que enunciemos as hipóteses a serem testadas.
Dados fornecidos (peguei os valores diretamente da tabela do enunciado):
Nível de significância:
.
Pergunta central: existe associação (dependência) entre as variáveis “tipo de sobremesa” e “tipo de prato principal”?
Pergunta central: existe associação (dependência) entre as variáveis “tipo de sobremesa” e “tipo de prato principal”?
Passo 2
Qual teste vamos aplicar e por quê (aula rápida e intuitiva):
- Quando temos duas variáveis categóricas organizadas numa tabela de contingência (aqui
), o teste clássico para verificar associação é o teste qui‑quadrado de independência. - Ideia do teste: sob a hipótese de independência, a frequência esperada em cada célula é o produto do total da linha pelo total da coluna dividido pelo total geral; se as frequências observadas diferem muito dessas esperadas, há evidência de associação.
- Fórmulas importantes:
onde
é a frequência observada na célula
,
é a frequência esperada e
é o total (aqui
).
- Hipóteses (enuncie simples e direta, como o enunciado pediu):
Passo 3
Calcular as frequências esperadas
. Vou mostrar o cálculo por espécie de sobremesa (usei a fórmula
).
Para a linha “Sorvete” (
):
Para a linha “Torta” (
):
Para a linha “Fruta” (
):
Para a linha “Nenhuma” (
):
(Verifique: as esperadas de cada linha somam o total da linha.)
Passo 4
Calcular cada contribuição
. Vou apresentar os valores aproximados (cada conta vem de aplicar a fórmula direta):
Linha “Sorvete”:
Linha “Torta”:
Linha “Fruta”:
Linha “Nenhuma”:
Passo 5
Somando todas as contribuições obtemos a estatística qui‑quadrado:
Portanto
.
Passo 6
Graus de liberdade e decisão:
- Existem
linhas e colunas, logo os graus de liberdade são - Valor crítico para
e : . - Regra de decisão: rejeitar
se .
Como
, rejeitamos
. O p‑valor associado é extremamente pequeno (muito menor que
), então a evidência contra
é muito forte.
Passo 7
Verificação das condições do teste (checagem prática):
- Regra prática: espera‑se que a maioria das frequências esperadas seja
e que nenhuma seja muito pequena. Aqui apenas uma célula tem ligeiramente abaixo de (a célula tem ), e nenhuma esperada é menor que . Assim, a aplicação do teste é razoável; se necessário, poderia-se agrupar categorias para evitar células pequenas, mas não é obrigatório aqui porque é apenas 1 célula levemente abaixo de .
Passo 8
Interpretação final e incentivo:
- Conclusão prática: há evidências estatísticas fortes de que o tipo de sobremesa pedido está associado ao tipo de prato principal no período analisado. Em termos de negócio, isso significa que certos pratos principais estão relacionados a preferências por determinadas sobremesas — informação útil para planejamento de cardápio e promoções. Você está indo bem — a conta ficou grande, mas o procedimento é simples: calcular esperadas, somar
e comparar com o critical. Dá pra fazer numa prova se organizar o cálculo com calma!
Resposta
Rejeitamos
ao nível
(
,
, valor crítico
); há evidências fortes de associação entre tipo de sobremesa e tipo de prato principal.