Você e alguns colegas de classe decidiram verificar a veracidade de um anúncio feito por uma pizzaria local, que afirma realizar entregas mais rápidas do que uma filial de uma grande rede nacional de pizzarias. Coincidentemente, ambas as pizzarias estão localizadas do outro lado da rua do campus universitário onde vocês estudam. Para testar essa afirmação, definiu-se como variável de interesse o tempo de entrega da pizza (em minutos), medido desde o momento do pedido até a chegada da pizza. Foram realizadas 20 encomendas no total ( 10 da pizzaria local e 10 da rede nacional) em horários distintos, para reduzir possíveis interferências de demanda. Os tempos observados foram organizados na tabela a seguir e apresenta os valores correspondentes às entregas registradas. No nível de significância de 0,05 , existem evidências de que o tempo médio de entrega da pizzaria local seja menor do que o tempo médio de entrega da filial da rede nacional?
Pizzaria Local Pizzaria Rede Nacional
16,8 18,1 22,0 19,5
11,7 14,1 15,2 17,0
15,6 21,8 18,7 19,5
16,7 13,9 15,6 16,5
17,5 20,8 20,8 24,0

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar, ao nível de significância \,0,05, se existe evidência de que o tempo médio de entrega da pizzaria local seja menor do que o tempo médio de entrega da filial da rede nacional.
Informações dadas (dados observados — peguei estes valores diretamente da tabela do enunciado):
Pizzaria Local (10 observações):
16,8,\;18,1,\;11,7,\;14,1,\;15,6,\;21,8,\;16,7,\;13,9,\;17,5,\;20,8
Pizzaria Rede Nacional (10 observações):
22,0,\;19,5,\;15,2,\;17,0,\;18,7,\;19,5,\;15,6,\;16,5,\;20,8,\;24,0
Pergunta clara: ao nível \alpha=0,05, há evidência de que a média de tempo da pizzaria local é menor que a média da rede nacional?

Passo 2

Escolha do procedimento de teste:
  • Temos duas amostras independentes de tamanho igual ( n_1=n_2=10).
  • O enunciado não exige um teste específico, portanto escolho o teste t para duas amostras independentes. Como as variâncias amostrais não são exatamente iguais, uso a versão de Welch (mais robusta quando as variâncias podem diferir). Essa escolha é prática: o teste de Welch usa uma estimativa do erro padrão apropriada mesmo quando as variâncias são diferentes, e o cálculo é rápido na prova.
Vou então aplicar o teste de duas médias com a estatística de Welch.

Passo 3

Cálculo das médias amostrais (explico como fazer: some todos os valores e divida por n).
Soma e média da Pizzaria Local:
\text{soma}_L = 16,8+18,1+11,7+14,1+15,6+21,8+16,7+13,9+17,5+20,8=167,0
\bar{x}_L=\frac{\text{soma}_L}{10}=\frac{167,0}{10}=16,7
Soma e média da Rede Nacional:
\text{soma}_N = 22,0+19,5+15,2+17,0+18,7+19,5+15,6+16,5+20,8+24,0=188,8
\bar{x}_N=\frac{\text{soma}_N}{10}=\frac{188,8}{10}=18,88
Interpretação: a média amostral da pizzaria local é \bar{x}_L=16,7 minutos e da rede nacional é \bar{x}_N=18,88 minutos.

Passo 4

Cálculo das variâncias amostrais (explico a fórmula e como calcular na prova): a variância amostral é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,
onde x_i são os dados e \bar{x} a média amostral. Esse n-1 corrige o viés em amostras.
Para a Pizzaria Local (calculei as diferenças em relação a \bar{x}_L=16,7, elevei ao quadrado e somei):
\sum (x_i-\bar{x}_L)^2 = 86,24
s_L^2=\frac{86,24}{10-1}=\frac{86,24}{9}=9,582\quad(\text{aprox.})
s_L=\sqrt{9,582}\approx 3,096
Para a Rede Nacional (diferenças em relação a \bar{x}_N=18,88):
\sum (x_i-\bar{x}_N)^2 = 73,936
s_N^2=\frac{73,936}{9}=8,215\quad(\text{aprox.})
s_N=\sqrt{8,215}\approx 2,866
Comentário rápido: as variâncias são parecidas, mas não exatamente iguais, por isso a escolha do teste de Welch continua adequada.

Passo 5

Formulação das hipóteses (escrevo exatamente o que testar — isso é crucial na prova):
H_0:\\ \mu_L=\mu_N
H_1:\\ \mu_L<\mu_N
ou seja, hipótese alternativa unilateral à esquerda (queremos saber se a média da local é menor).

Passo 6

Fórmula da estatística de teste (teste de Welch). A estatística t é:
t=\frac{\bar{x}_L-\bar{x}_N}{\sqrt{\dfrac{s_L^2}{n_L}+\dfrac{s_N^2}{n_N}}}
onde n_L=n_N=10. Agora substituímos os valores calculados.
Calcule o denominador (erro padrão combinado):
\frac{s_L^2}{n_L}=\frac{9,582}{10}=0,9582
\frac{s_N^2}{n_N}=\frac{8,215}{10}=0,8215
\text{erro padrão}=\sqrt{0,9582+0,8215}=\sqrt{1,7797}\approx 1,3339ã
Diferença das médias:
\bar{x}_L-\bar{x}_N = 16,7-18,88 = -2,18
Portanto a estatística:
t=\frac{-2,18}{1,3339}\approx -1,635

Passo 7

Grau de liberdade aproximado (fórmula de Satterthwaite usada no Welch):
\nu \approx \frac{\left(\dfrac{s_L^2}{n_L}+\dfrac{s_N^2}{n_N}\right)^2}{\dfrac{(s_L^2/n_L)^2}{n_L-1}+\dfrac{(s_N^2/n_N)^2}{n_N-1}}
Substituindo os números:
\text{numerador}=(1,7797)^2\approx 3,1672
\text{denominador}=\frac{(0,9582)^2}{9}+\frac{(0,8215)^2}{9}\approx\frac{0,9182}{9}+\frac{0,675}{9}\approx 0,1020+0,0750=0,1770
\nu\approx\frac{3,1672}{0,1770}\approx 17,9
Assim, usamos aproximadamente \nu\approx 17,9 graus de liberdade (na prática tabelas usam \nu=18 ou você pode usar uma calculadora). Para interpretação, tanto \nu=18 quanto \nu\approx17,9 dão praticamente o mesmo resultado.

Passo 8

Decisão do teste (explicação do procedimento de decisão na prova):
  • É um teste unilateral à esquerda com \alpha=0,05.
  • Valor crítico (aproximado) para \nu\approx 18 é t_{0,95;18}\approx 1,734, então a região de rejeição (em termos de t) é t < -1,734.
  • Nossa estatística é t\approx -1,635, que não é menor que -1,734. Então NÃO cai na região de rejeição.
Também podemos olhar o p-valor (interpretar na prova): para t=-1,635 com \nu\approx18, o p-valor unilateral é aproximadamente
p\approx 0,06
que é maior que \alpha=0,05. Logo não rejeitamos H_0.
Conclusão: com \alpha=0,05 não há evidência suficiente para afirmar que a média da pizzaria local é menor do que a média da rede nacional.

Passo 9

Interpretação final em linguagem simples e incentivo curto:
  • O resultado significa que, com os 10 pedidos de cada pizzaria, a diferença observada nas médias ( \bar{x}_L=16,7 vs \bar{x}_N=18,88) não é estatisticamente forte o bastante, ao nível 5\%, para concluir que a pizzaria local é realmente mais rápida em média. Pode ser uma diferença real, mas os dados não dão evidência suficiente agora — precisaria de mais observações ou menor variabilidade para ter mais poder no teste.
  • Bom trabalho por montar o experimento! Se quiser, a próxima etapa é aumentar n (fazer mais pedidos) para reduzir a incerteza — e aí a comparação fica mais convincente.

Resposta

Não — não há evidência ao nível \alpha=0,05 de que o tempo médio da pizzaria local seja menor. Estatística de teste t\approx -1,635, grau de liberdade \nu\approx 17,9, p-valor unilateral \approx 0,06.

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