O conjunto consiste em uma barra de aço CB e uma barra de alumínio BA, ambas com um diâmetro de 12 mm . Caso o conjunto esteja sujeito a carregamentos em A e no acoplamento em B , determine o deslocamento do acoplamento B e da extremidade A . Considere que o tamanho dos acoplamentos em B e C são desprezíveis, e que ambos são rígidos. E_{a c ̧ o}=200 \mathrm{GPa}, E_{a l}=70 \mathrm{GPa}̧.

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e quais dados ele fornece.
  • O que se pede:
    • Determinar o deslocamento do acoplamento B (deslocamento de B em relação ao suporte fixo em C).
    • Determinar o deslocamento da extremidade A (em relação ao suporte fixo em C).
  • Dados fornecidos:
    • Barra CB é de aço com E_{\text{aço}} = 200\\ \text{GPa}ç.
    • Barra BA é de alumínio com E_{\text{al}} = 70\\ \text{GPa}.
    • Diâmetro de ambas as barras: d = 12\\ \text{mm}.
    • Comprimentos (retirados da figura): L_{CB} = 3{,}0\\ \text{m} e L_{BA} = 2{,}0\\ \text{m}.
    • Carregamentos (retirados da figura): força em A: 18\\ \text{kN} para a direita; força aplicada no acoplamento B: 6\\ \text{kN} para a esquerda.
    • O suporte em C é fixo; os acoplamentos têm tamanho desprezível e são rígidos (logo B é nó rígido que transmite forças e tem deslocamento único).

Passo 2

Estratégia de solução (o “como” em termos físicos, passo a passo):
  • Determinar as forças internas (axiais) que atuam em cada barra usando equilíbrio do nó B e equilíbrio das partes.
  • Calcular a deformação axial de cada barra usando a lei de Hooke para tração/compressão axial: \delta = \frac{F\,L}{A\,E},onde F é a força axial (sinalado: positivo para tração para a direita), L comprimento da barra, A área da seção transversal e E módulo de elasticidade.
  • A posição de B em relação a C vem da deformação da barra CB.
  • A posição de A em relação a C é a soma da deformação de CB (posiciona B) e da deformação de BA (extensão entre B e A).
  • Usar compatibilidade (deslocamentos iguais no nó) e equilíbrio no nó B para obter as forças internas.

Passo 3

Calcular a área da seção e fazer conversões de unidade (tudo bem definido para colocar nas fórmulas).
  • Diâmetro d = 12\\ \text{mm} = 0{,}012\\ \text{m}.
  • Área da seção circular: A = \frac{\pi d^{2}}{4} = \frac{\pi (0{,}012)^{2}}{4}.Vamos calcular numericamente: A = \pi \cdot 3{,}6\times 10^{-5} = 1{,}130973\ldots\times 10^{-4}\\ \text{m}^{2}.Para trabalhar com números, usaremos A \approx 1{,}13097\times10^{-4}\\ \text{m}^{2}.

Passo 4

Determinar as forças internas em cada barra por equilíbrio estático (nó B e partes).
  • Adote convenção: forças positivas para a direita (tração positiva para barras quando puxam para fora).
  • Analise a barra BA isoladamente (entre B e A). Sobre BA atuam:
    • Força externa em A: +18\\ \text{kN} (para a direita).
    • A interação com o acoplamento em B: força exercida pelo acoplamento sobre BA, chamada P_{B\to BA} (positiva se para a direita).
      Equilíbrio de BA (sum F = 0):
    18\\ \text{kN} + P_{B\to BA} = 0 \quad\Rightarrow\quad P_{B\to BA} = -18\\ \text{kN}.Interpretação: o acoplamento exerce sobre BA uma força de 18\\ \text{kN} para a esquerda. Pelo princípio de ação e reação, BA exerce sobre o acoplamento uma força de 18\\ \text{kN} para a direita.
  • Agora equilíbrio do nó/acoplamento B. As forças que agem no nó B (positivas para a direita):
    • BA sobre o nó: +18\\ \text{kN} (conforme acima).
    • CB sobre o nó: chamar P_{CB\to B} (positiva para a direita).
    • Força externa aplicada no acoplamento (da figura): 6\\ \text{kN} para a esquerda =\,-6\\ \text{kN}.
      Equilíbrio no nó B:
    18\\ \text{kN} + P_{CB\to B} - 6\\ \text{kN} = 0.Assim: P_{CB\to B} = -12\\ \text{kN}.Interpretação: CB exerce sobre B uma força de 12\\ \text{kN} para a esquerda; equivalently a barra CB está carregada por uma força de 12\\ \text{kN} (compressão, direção para a esquerda no nosso sinal).
  • Resumo das forças internas nas barras:
    • Força axial na barra BA: F_{BA} = +18\\ \text{kN} (tração dirigindo para a direita — faz BA alongar).
    • Força axial na barra CB: F_{CB} = -12\\ \text{kN} (negativo no sentido adotado; é compressão de 12\\ \text{kN} — faz CB encurtar).

Passo 5

Aplicar a fórmula da deformação axial em cada barra e interpretar os sinais.
  • Fórmula (relembrando): \delta = \frac{F\,L}{A\,E},onde:
    • \delta é o deslocamento (positivo para a direita se F positivo),
    • F é a força axial (em N),
    • L é o comprimento da barra (em m),
    • A é a área da seção (em m^{2}),
    • E é o módulo de elasticidade (em Pa).
Calcule \delta_{CB} (deslocamento do nó B relativo ao suporte C, obtido pela deformação da barra CB).
  • Usar F_{CB} = -12\\ \text{kN} = -12\,000\\ \text{N}, L_{CB} = 3{,}0\\ \text{m}, A = 1{,}13097\times10^{-4}\\ \text{m}^{2}, E_{\text{aço}} = 200\times10^{9}\\ \text{Pa}ç.
  • Cálculo: \delta_{CB} = \frac{(-12\,000)(3{,}0)}{(1{,}13097\times10^{-4})(200\times10^{9})}.Fazer as contas: A E_{\text{aço}} = 1{,}13097\times10^{-4}\cdot 200\times10^{9} = 2{,}261946\times10^{7}\\ \text{N}.ç
\delta_{CB} = \frac{-36\,000}{2{,}261946\times10^{7}} \approx -1{,}5919\times10^{-3}\\ \text{m}.
Em milímetros:
\delta_{CB} \approx -1{,}592\\ \text{mm}.
Interpretação do sinal: deslocamento negativo significa deslocamento de B para a esquerda (no nosso sinal, direita positiva).
Calcule \delta_{BA} (deformação da barra BA, que desloca A em relação a B).
  • Usar F_{BA} = +18\\ \text{kN} = +18\,000\\ \text{N}, L_{BA} = 2{,}0\\ \text{m}, A já calculada, E_{\text{al}} = 70\times10^{9}\\ \text{Pa}.
  • Cálculo: A E_{\text{al}} = 1{,}13097\times10^{-4}\cdot 70\times10^{9} = 7{,}916811\times10^{6}\\ \text{N}.
\delta_{BA} = \frac{(18\,000)(2{,}0)}{7{,}916811\times10^{6}} = \frac{36\,000}{7{,}916811\times10^{6}} \approx 4{,}5477\times10^{-3}\\ \text{m}.
Em milímetros:
\delta_{BA} \approx 4{,}548\\ \text{mm}.
Interpretação do sinal: positivo significa A desloca-se para a direita em relação a B.

Passo 6

Determinar o deslocamento absoluto do ponto A (em relação ao suporte fixo em C) e do acoplamento B.
  • Deslocamento do nó B em relação a C já calculado: \delta_{B} = \delta_{CB} \approx -1{,}592\\ \text{mm}.(ou seja, B desloca 1{,}592\\ \text{mm} para a esquerda).
  • Deslocamento do ponto A em relação a C é a soma: \delta_{A} = \delta_{B} + \delta_{BA}.Substituindo os valores (em mm): \delta_{A} \approx -1{,}592\\ \text{mm} + 4{,}548\\ \text{mm} = 2{,}956\\ \text{mm}.Interpretação: \delta_{A} positivo significa A deslocou 2{,}956\\ \text{mm} para a direita em relação ao suporte em C.

Resposta

\delta_{B} = -1{,}592\\ \text{mm} (deslocamento de B: 1{,}592\\ \text{mm} para a esquerda)
\delta_{A} = 2{,}956\\ \text{mm} (deslocamento de A: 2{,}956\\ \text{mm} para a direita)

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