Uma folha não condutora muito grande e fina, de área superficial A, possui uma carga positiva q fixa e uniformemente distribuída. Qual é a densidade de carga superficial da folha? Qual é a magnitude do campo criado pela folha?

Passo 1

O enunciado nos diz que temos uma lâmina não condutora, muito grande e fina, de área superficial A, que carrega uma carga total positiva q uniformemente distribuída. Estamos em eletrostática, e o que precisamos usar é o conceito de densidade de carga superficial e a Lei de Gauss para um plano de carga infinita.

Passo 2

A densidade de carga superficial é definida por carga por unidade de área. Como a distribuição é uniforme, basta dividir a carga total pela área:
\sigma = \frac{q}{A}.

Passo 3

Para encontrar o campo elétrico de uma lâmina infinita de densidade superficial \sigma, usamos a Lei de Gauss. Escolhemos uma superfície gaussiana em forma de “tubo” (um cilindro reto) perpendicular à lâmina, com faces planas paralelas à lâmina e interceptando-a. Pela simetria:
  • O campo tem direção perpendicular à lâmina e mesmo módulo de ambos os lados.
  • Nas faces do cilindro o campo é uniforme e vale E, e nas laterais é zero.
A Lei de Gauss diz:
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Aqui o fluxo passa só pelas duas faces, cada uma com área S igual à área da face do cilindro escolhida. Logo
\Phi = E\,S + E\,S = 2ES.
A carga interna é Q_{\text{int}} = \sigma\,S. Logo
2 E S = \frac{\sigma\,S}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.

Resposta

A densidade de carga superficial é
\sigma = \frac{q}{A},
e a magnitude do campo elétrico criado pela lâmina infinita é
E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.

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