Uma placa metálica muito grande, de área superficial A, possui uma carga positiva q. Qual é a densidade de carga superficial da placa? Qual é a magnitude do campo criado pela placa?

Passo 1

Estamos com uma placa metálica “infinita” (ou muito grande) de área superficial A que carrega uma carga total positiva q. Precisamos encontrar a densidade de carga superficial \sigma e, em seguida, usar a Lei de Gauss para obter o módulo do campo elétrico que essa placa cria.

Passo 2

A densidade de carga superficial \sigma é definida como a razão entre a carga total na superfície e a área dessa superfície. Logo,
\sigma = \frac{q}{A}.

Passo 3

Para achar o campo elétrico de uma placa infinitamente grande com densidade \sigma, usamos a Lei de Gauss. Escolhemos uma “caixa de Gauss” em forma de paralelepípedo (ou pires) que atravessa a placa, de modo que suas faces planas de área A_{\rm gauss} fiquem uma de cada lado da placa.
  1. O fluxo total sai pelas duas faces, então
\Phi = E\cdot A_{\rm gauss} + E\cdot A_{\rm gauss} = 2E\,A_{\rm gauss}.
  1. A carga envolvida é \sigma\,A_{\rm gauss}. Pela Lei de Gauss,
\Phi = \frac{q_{\rm int}}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad 2E\,A_{\rm gauss} = \frac{\sigma\,A_{\rm gauss}}{\varepsilon_0}.
Cancelando A_{\rm gauss} e isolando E, obtemos
E = \frac{\sigma}{2\,\varepsilon_0}.

Resposta

A densidade de carga superficial é
\sigma = \frac{q}{A},
e o módulo do campo elétrico criado pela placa é
E = \frac{\sigma}{2\,\varepsilon_0} = \frac{q}{2\,\varepsilon_0\,A}.

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