Fonte: Autores.
Dados do problema:
Tirante da mão francesa (estrutura AB ) feita de alumínio Liga 2014-T6 (possui tensão de ruptura à tração igual a 455 MPa ) e de perfil cilíndrico maciço;
Escora da mão francesa (Estrutura BC) feita de Aço de reforço com média resistência (possui tensão de ruptura à compressão de 275 MPa ) e de perfil quadrado maciço.
Considerando um fator de segurança (F.S.) igual a 2,5 para o Alumínio e 2,0 para o Aço (que diminui a tensão resistente das peças), encontre as dimensões da seção transversal do tirante e da escora da mão francesa. Considere a aceleração da gravidade igual a 9.81 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma estrutura chamada “mão francesa” composta por duas partes:
  1. Tirante (AB): Feito de alumínio Liga 2014-T6, que tem uma tensão de ruptura à tração de 455 MPa. É um perfil cilíndrico maciço.
  2. Escora (BC): Feita de aço de reforço, com tensão de ruptura à compressão de 275 MPa. É um perfil quadrado maciço.
A questão quer que a gente calcule as dimensões das seções transversais do tirante e da escora, considerando fatores de segurança (F.S.) de 2,5 para o alumínio e 2,0 para o aço. Isso significa que a resistência das peças vai ser efetivamente diminuída pelo fator de segurança.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de resistência dos materiais, especificamente a relação entre tensão, força e área da seção transversal:
sigma = FA
Onde:
  • sigma é a tensão (resistência do material)
  • F é a força aplicada
  • A é a área da seção transversal
Vamos seguir passo a passo para encontrar as dimensões necessárias.

Passo 2

Primeiro, precisamos ajustar as tensões de ruptura considerando os fatores de segurança. Isso nos dá a tensão de operação segura para cada material.
Para o tirante de alumínio:
sigmasegura, alumínio = sigmaruptura, alumínioFS = 455 , MPa2,5 = 182 , MPa íí
Para a escora de aço:
sigmasegura, aço = sigmaruptura, açoFS = 275 , MPa2,0 = 137,5 , MPa çç

Passo 3

Agora, precisamos determinar as forças que atuam no tirante e na escora. Geralmente, em uma mão francesa sujeita à gravidade, o tirante suporta a tração devido ao peso da estrutura e possivelmente de cargas adicionais.
Vamos supor que a única força atuando seja o peso P da estrutura. Então, a força no tirante Ftirante é igual a P, e a força na escora Fescora também é igual a P, mas em compressão.
Como a aceleração da gravidade é dada ( g = 9,81 , m/s²²), se tivermos a massa m, a força seria:
F = m cdot g
Entretanto, como a massa ou o peso P não foi fornecido, vamos assumir que P é conhecida ou será simplificada na expressão final.

Passo 4

Com as forças conhecidas e as tensões seguras calculadas, podemos usar a fórmula da tensão para encontrar a área da seção transversal necessária para cada componente.
Para o tirante de alumínio:
Atirante = Ftirantesigmasegura, alumínio = P182 times 10^6 , Pa í
Para a escora de aço:
Aescora = Fescorasigmasegura, aço = P137,5 times 10^6 , Pa ç

Passo 5

Como os perfis são maciços, podemos relacionar a área da seção transversal com as dimensões geométricas.
Para o tirante cilíndrico, a área da seção transversal é:
Acilíndrico = pi (d2)^2 = pi d^24 í
Portanto, podemos resolver para o diâmetro d:
d = raiz4 Atirantepi = raiz4 Ppi cdot 182 times 10^6
Para a escora quadrada, a área da seção transversal é:
Aquadrado = a^2
Onde a é a largura do quadrado. Então, resolvemos para a:
a = raizAescora = raizP137,5 times 10^6

Passo 6

Finalmente, substituímos as expressões para Atirante e Aescora nas equações de d e a:
Para o tirante de alumínio:
d = raiz4 Ppi cdot 182 times 10^6 approx raiz4 P572,56 times 10^6 approx raiz4 P5,7256 times 10^8 approx raizP1,4314 times 10^8
Para a escora de aço:
a = raizP137,5 times 10^6 approx raizP1,375 times 10^8

Resposta

As dimensões das seções transversais necessárias são:
  • Tirante de alumínio:
    d = raizP1,4314 times 10^8 , metros
  • Escora de aço:
    a = raizP1,375 times 10^8 , metros
Se o valor da força P for conhecido, basta substituir para obter os valores numéricos das dimensões.

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