(Fonte desconhecida) Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{cc}4 & 2 \\\\ 0 & -1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\\ a & b\end{array}\right) tem-se \mathrm{AB}=\mathrm{BA} para:
a) \mathrm{a}=2 \mathrm{e} \mathrm{b}=4
b) \mathrm{a}=0 \mathrm{e} \forall b
c) \mathrm{a}=0 e b = -1
d) \forall a \in b reais
e) n.d.a.
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores de a e b tais que
AB = BA
onde
A = \begin{pmatrix}4 & 2 \\[6pt] 0 & -1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[6pt] a & b\end{pmatrix}.
O conteúdo é multiplicação de matrizes e a condição de comutação exige que cada entrada de AB seja igual à correspondente em BA.]
Passo 2
Calcular AB:
AB = \begin{pmatrix}4 & 2 \\[4pt]0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt]a & b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot(-1)+2\cdot a & 4\cdot 0 + 2\cdot b \\[6pt] 0\cdot(-1)+(-1)\cdot a & 0\cdot 0 + (-1)\cdot b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 + 2a & 2b \\[4pt] -a & -b \end{pmatrix}.]
Impor AB = BA\) gera o sistema de equações entre entradas correspondentes:
\[\begin{cases} -4 + 2a = -4,\\\\ 2b = -2,\\\\ -\,a = 4a,\\\\ -\,b = 2a - b. \end{cases}
Da primeira equação vem 2a=0\Rightarrow a=0\].
Da segunda vem \(2b=-2\Rightarrow b=-1.
As outras duas equações confirmam a=0.