Calcule o determinante e a matriz inversa (se existir) de cada item abaixo
\left[\begin{array}{rrr}3 & 4 & -2 \\\\ -1 & 1 & 3 \\\\ 2 & 5 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante e, se existir, a matriz inversa de
A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & -2\\\\ -1 & 1 & 3\\\\ 2 & 5 & 1 \end{pmatrix}.
Vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão por co-fatores para o determinante e, caso ele seja diferente de zero, aplicaremos a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A).

Passo 2

Calculando \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) = 3\det\begin{pmatrix}1 & 3\\\ 5 & 1\end{pmatrix} -4\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\\ 2 & 1\end{pmatrix} +(-2)\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 2 & 5\end{pmatrix}.
Agora cada menor 2\times 2:
\det\begin{pmatrix}1 & 3\\\ 5 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - 3\cdot5 = 1 -15 = -14,
\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\\ 2 & 1\end{pmatrix} =(-1)\cdot1 - 3\cdot2 = -1 -6 = -7,
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 2 & 5\end{pmatrix} =(-1)\cdot5 - 1\cdot2 = -5 -2 = -7.
Substituindo:
\det(A) =3(-14) -4(-7) +(-2)(-7) =-42 +28 +14 = 0.

Passo 3

Como \det(A)=0, a matriz A é singular e não possui inversa.

Resposta

\det(A)=0
A inversa de A não existe.

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