(PM - BOMBEIRO) Considere as seguintes afirmações a respeito da matriz A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] :
I - Se a=d e b=c, então o determinante de A é positivo
II - Se det (A)=5, então o determinante da matriz
\mathrm{B}=2 \mathrm{~A} é igual a 10.
III - O determinante de A é igual ao determinante de sua transposta \mathrm{A}^{\mathrm{t}}
Assinale a alternativa correta:
a) Somente a I é verdadeira
b) Somente a II é verdadeira
c) Somente a III é verdadeira
d) Somente a I e II são verdadeiras
e) Somente a II e III são verdadeiras

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} e pede para analisar três afirmações sobre determinantes. O conteúdo envolve cálculo de determinante de matrizes 2\times2, efeito de multiplicar a matriz por escalar e propriedade da transposta.

Passo 2

Verificamos a I: “Se a=d e b=c, então \det(A) é positivo.”
Com a=d e b=c,
\det(A)=ad-bc=a\cdot a - b\cdot b = a^2 - b^2.
Esse valor pode ser positivo, zero ou negativo, conforme a e b. Por exemplo, se a=1 e b=2, então \det(A)=1^2-2^2=-3. Logo, I é falsa.

Passo 3

Verificamos a II: “Se \det(A)=5, então \det(B) com B=2A é igual a 10.”
Em geral, para matriz n\times n, \det(kA)=k^n\det(A). Aqui n=2 e k=2,
\det(B)=\det(2A)=2^2\det(A)=4\cdot 5=20\neq 10.
Portanto, II é falsa.

Passo 4

Verificamos a III: “ \det(A)=\det(A^{t}).”
É um fato geral que transpor a matriz não altera o determinante. Assim, III é verdadeira.

Resposta

(c)

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