(PM - BOMBEIRO) Considere as seguintes afirmações a respeito da matriz
:
I - Se a=d e b=c, então o determinante de A é positivo
II - Se det
, então o determinante da matriz
é igual a 10.
III - O determinante de A é igual ao determinante de sua transposta
Assinale a alternativa correta:
a) Somente a I é verdadeira
b) Somente a II é verdadeira
c) Somente a III é verdadeira
d) Somente a I e II são verdadeiras
e) Somente a II e III são verdadeiras
II - Se det
III - O determinante de A é igual ao determinante de sua transposta
Assinale a alternativa correta:
a) Somente a I é verdadeira
b) Somente a II é verdadeira
c) Somente a III é verdadeira
d) Somente a I e II são verdadeiras
e) Somente a II e III são verdadeiras
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz
e pede para analisar três afirmações sobre determinantes. O conteúdo envolve cálculo de determinante de matrizes
, efeito de multiplicar a matriz por escalar e propriedade da transposta.
Passo 2
Verificamos a I: “Se
e
, então
é positivo.”
Com e
,
Com
Esse valor pode ser positivo, zero ou negativo, conforme
e
. Por exemplo, se
e
, então
. Logo, I é falsa.
Passo 3
Verificamos a II: “Se
, então
com
é igual a 10.”
Em geral, para matriz ,
. Aqui
e
,
Em geral, para matriz
Portanto, II é falsa.
Passo 4
Verificamos a III: “
.”
É um fato geral que transpor a matriz não altera o determinante. Assim, III é verdadeira.
É um fato geral que transpor a matriz não altera o determinante. Assim, III é verdadeira.
Resposta
(c)