Uma fonte CA (de perfil senoidal) fornece uma tensão alternada de frequẽncia \mathrm{f}=60 \mathrm{~Hz} a um resistor de resistência \mathrm{R}=3,4 \mathrm{k} \Omega. Qual deve ser a amplitude da tensão se temos como objetivo fazer o resistor dissipar a mesma potência média se a fonte fosse substituida por uma fonte de tensão CC de 1 V .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a amplitude da tensão senoidal (ou seja, o valor de pico V_{m}) de uma fonte CA que faz o resistor dissipar a mesma potência média que um fonte CC de 1\\ \mathrm{V} aplicada ao mesmo resistor. Dados fornecidos:
f=60\\ \mathrm{Hz},
R=3,4\\ \mathrm{k}\Omega,
V_{DC}=1\\ \mathrm{V}.
Observação: a frequência f foi dada, mas para potência média em um resistor puramente resistivo com tensão senoidal só precisamos do valor eficaz (RMS); a frequência não entra no cálculo da potência média neste caso.

Passo 2

Entendendo potência em corrente contínua (CC): quando uma tensão constante V_{DC} é aplicada a um resistor R, a potência média dissipada é dada pela lei de Joule:
P_{DC}=\frac{V_{DC}^{2}}{R}.
Explicação didática: aqui P_{DC} é a energia por segundo (em watts) que vira calor no resistor; V_{DC} é a tensão constante em volts e R é a resistência em ohms. A fórmula vem de P=VI e da Lei de Ohm V=IR, então P=V\cdot\frac{V}{R}=\frac{V^{2}}{R}.

Passo 3

Calculemos a potência com a fonte CC de 1\\ \mathrm{V}. Primeiro convertemos R para ohms:
R=3,4\\ \mathrm{k}\Omega=3400\\ \Omega.
Agora:
P_{DC}=\frac{1^{2}}{3400}=\frac{1}{3400}\\ \mathrm{W}\approx 2,941176\times10^{-4}\\ \mathrm{W}=294,12\\ \mu\mathrm{W}.
Comentário amigo: ou seja, com 1 V contínuo o resistor dissipa cerca de 294\\ \mu\mathrm{W}.

Passo 4

Entendendo potência em corrente alternada senoidal: para uma tensão senoidal v(t)=V_{m}\sin(\omega t) aplicada a um resistor R, a potência média dissipada é
P_{AC}=\frac{V_{\mathrm{rms}}^{2}}{R},
onde V_{\mathrm{rms}} é o valor eficaz (RMS) da tensão. Para uma senoide pura:
V_{\mathrm{rms}}=\frac{V_{m}}{\sqrt{2}}.
Explicação didática: o RMS é a tensão equivalente contínua que produz a mesma potência num resistor. Para uma senoide, a razão entre o pico V_{m} e o RMS é \sqrt{2} porque a média do quadrado da senoide é 1/2.

Passo 5

Expresse a potência média para a senoide usando V_{m}:
P_{AC}=\frac{V_{m}^{2}/2}{R}=\frac{V_{m}^{2}}{2R}.
Queremos que essa potência seja igual à potência do caso CC. Então igualamos:
\frac{V_{m}^{2}}{2R}=\frac{V_{DC}^{2}}{R}.
Como R é o mesmo nos dois lados, ele cancela:
\frac{V_{m}^{2}}{2}=V_{DC}^{2}.

Passo 6

Agora resolvemos para V_{m}. Substituindo V_{DC}=1\\ \mathrm{V}:
\frac{V_{m}^{2}}{2}=1^{2}=1.
Logo
V_{m}^{2}=2,
V_{m}=\sqrt{2}\\ \mathrm{V}.
Valor numérico aproximado:
V_{m}\approx1,4142\\ \mathrm{V}.
Comentário final amigo: então, para que a senoide faça o mesmo aquecimento (mesma potência média) que 1\\ \mathrm{V} contínuo no resistor, seu pico precisa ser \sqrt{2} volts — cerca de 1,414\\ \mathrm{V}. Boa! Tá feito e você pode anotar essa relação de cabeça: V_{m}=\sqrt{2}\,V_{DC} quando quer a mesma potência média.

Resposta

\displaystyle V_{m}=\sqrt{2}\\ \mathrm{V}\approx1,414\\ \mathrm{V}

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