Um solenóide muito longo tem 1,2 \times 10^{3} voltas por metro de fio e um raio de 11 cm . Ele carrega uma corrente alternada dada por I_{(t)}=I_{m} \operatorname{sen}(2 \pi f t), na qual a amplitude é I_{m}=7,7 \mathrm{~A} e a frequência é \mathrm{f}=2,5 \mathrm{kHz}. Qual é a magnitude máxima (amplitude) do campo elétrico induzido a um raio de 9,6 \mathrm{~cm} do eixo do solenóide?

Passo 1

O enunciado pede a magnitude máxima (amplitude) do campo elétrico induzido a uma distância 9{,}6\\ \mathrm{cm} do eixo de um solenóide muito longo. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • Número de espiras por metro: n = 1{,}2\times 10^{3}\\ \mathrm{espiras/m}.
  • Raio do solenóide: a = 11\\ \mathrm{cm} = 0{,}11\\ \mathrm{m}.
  • Corrente alternada: I(t)=I_{m}\sin(2\pi f t) com I_{m}=7{,}7\\ \mathrm{A} e f=2{,}5\\ \mathrm{kHz}=2500\\ \mathrm{Hz}.
  • Ponto onde queremos o campo elétrico: r=9{,}6\\ \mathrm{cm}=0{,}096\\ \mathrm{m}.
    O que devemos encontrar: a amplitude (valor máximo) do campo elétrico induzido |\mathbf{E}|_{\max} no círculo de raio r.

Passo 2

Observação importante sobre posição: como r=0{,}096\\ \mathrm{m} e o raio do solenóide é a=0{,}11\\ \mathrm{m}, temos r<a. Ou seja, o ponto está dentro do interior do solenóide. Vou usar isso ao calcular o fluxo magnético penetrando a superfície circular de raio r.

Passo 3

Teoria necessária (passo-a-passo e intuitivo):
  • Para um solenóide muito longo, o campo magnético no interior é praticamente uniforme e dado por
B(t)=\mu_{0}\,n\,I(t),
onde \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} é a permeabilidade do vácuo, n é o número de espiras por metro e I(t) é a corrente instantânea. Aqui B está ao longo do eixo do solenóide.
  • A Lei de Faraday (no formato integral) diz que a integral de linha do campo elétrico ao redor de um laço fechado é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético através da superfície delimitada pelo laço:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = -\frac{d\Phi_{B}}{dt}.
Explicando: \Phi_{B} é o fluxo magnético (campo B multiplicado pela área efetiva quando B é perpendicular à superfície).

Passo 4

Aplicando simetria e escolhendo o laço:
  • Pelo problema temos simetria circular em torno do eixo do solenóide, então o campo elétrico induzido é tangencial e tem a mesma magnitude E(t) ao longo de um círculo de raio r. Assim a integral de linha é
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = E(t)\cdot 2\pi r.
  • O fluxo magnético através do círculo de raio r (dentro do solenóide) é
\Phi_{B}(t)=B(t)\cdot (\text{área}) = B(t)\cdot \pi r^{2}.á
  • Derivando no tempo:
\frac{d\Phi_{B}}{dt} = \pi r^{2}\frac{dB}{dt}.
  • Substituindo na Lei de Faraday:
E(t)\,2\pi r = -\pi r^{2}\frac{dB}{dt}.
Isolando E(t) (módulo),
E(t) = -\frac{r}{2}\frac{dB}{dt}.
Em módulo,
|E(t)| = \frac{r}{2}\left|\frac{dB}{dt}\right|.

Passo 5

Relacionando B(t) com I(t) e derivando:
  • Temos B(t)=\mu_{0}nI(t). Como I(t)=I_{m}\sin(\omega t) com \omega=2\pi f, obtemos
\frac{dB}{dt} = \mu_{0}n\frac{dI}{dt} = \mu_{0}n\,I_{m}\,\omega\cos(\omega t).
  • A amplitude máxima de \left|\frac{dB}{dt}\right| ocorre quando |\cos(\omega t)|=1, portanto
\max\left|\frac{dB}{dt}\right| = \mu_{0}n I_{m}\omega.
  • Assim a amplitude do campo elétrico é
E_{\max} = \frac{r}{2}\,\mu_{0}n I_{m}\omega.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos com cuidado (tudo em unidades SI):
  • r=0{,}096\\ \mathrm{m}.
  • \mu_{0}=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • n=1{,}2\times 10^{3}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • I_{m}=7{,}7\\ \mathrm{A}.
  • \omega=2\pi f = 2\pi\times 2500 = 5000\pi\\ \mathrm{rad/s}.
    Colocando na fórmula:
E_{\max} = \frac{0{,}096}{2}\,(4\pi\times10^{-7})(1{,}2\times10^{3})(7{,}7)(5000\pi).

Passo 7

Simplificação algébrica passo a passo:
  • Primeiro calcule \mu_{0}n = (4\pi\times10^{-7})(1{,}2\times10^{3}) = 4{,}8\times10^{-4}\pi.
  • Então
\mu_{0}n\,I_{m}\,\omega = \bigl(4{,}8\times10^{-4}\pi\bigr)(7{,}7)(5000\pi).
  • Note que 4{,}8\times10^{-4}\times 5000 = 2{,}4. Então o produto dos fatores escalares é 2{,}4\times 7{,}7 = 18{,}48.
  • Restam os fatores \pi\cdot\pi=\pi^{2}. Portanto
\mu_{0}n\,I_{m}\,\omega = 18{,}48\,\pi^{2}.
  • Finalmente,
E_{\max} = \frac{0{,}096}{2}\times 18{,}48\,\pi^{2} = 0{,}048\times 18{,}48\,\pi^{2} = 0{,}88704\,\pi^{2}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 8

Expressão numérica final (antes de arredondar): E_{\max}=0{,}88704\,\pi^{2}\\ \mathrm{V/m}. Agora calculando \pi^{2}\approx 9{,}8696 e multiplicando obtemos o valor numérico que vou apresentar como resposta final arredondada de forma razoável (2 casas significativas após a vírgula).

Resposta

8{,}75\\ \mathrm{V/m}

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