Um solenóide muito longo tem 1,2 \times 10^{3} voltas por metro de fio e um raio de 11 cm . Ele carrega uma corrente alternada dada por I_{(t)}=I_{m} \operatorname{sen}(2 \pi f t), na qual a amplitude é I_{m}=7,7 \mathrm{~A} e a frequência é \mathrm{f}=2,5 \mathrm{kHz}. Qual é a magnitude máxima (amplitude) do campo elétrico induzido a um raio de 9,6 \mathrm{~cm} do eixo do solenóide?
Passo 1
O enunciado pede a magnitude máxima (amplitude) do campo elétrico induzido a uma distância 9{,}6\\ \mathrm{cm} do eixo de um solenóide muito longo. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Número de espiras por metro: n = 1{,}2\times 10^{3}\\ \mathrm{espiras/m}.
Raio do solenóide: a = 11\\ \mathrm{cm} = 0{,}11\\ \mathrm{m}.
Corrente alternada: I(t)=I_{m}\sin(2\pi f t) com I_{m}=7{,}7\\ \mathrm{A} e f=2{,}5\\ \mathrm{kHz}=2500\\ \mathrm{Hz}.
Ponto onde queremos o campo elétrico: r=9{,}6\\ \mathrm{cm}=0{,}096\\ \mathrm{m}.
O que devemos encontrar: a amplitude (valor máximo) do campo elétrico induzido |\mathbf{E}|_{\max} no círculo de raio r.
Passo 2
Observação importante sobre posição: como r=0{,}096\\ \mathrm{m} e o raio do solenóide é a=0{,}11\\ \mathrm{m}, temos r<a. Ou seja, o ponto está dentro do interior do solenóide. Vou usar isso ao calcular o fluxo magnético penetrando a superfície circular de raio r.
Passo 3
Teoria necessária (passo-a-passo e intuitivo):
Para um solenóide muito longo, o campo magnético no interior é praticamente uniforme e dado por
B(t)=\mu_{0}\,n\,I(t),
onde \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} é a permeabilidade do vácuo, n é o número de espiras por metro e I(t) é a corrente instantânea. Aqui B está ao longo do eixo do solenóide.
A Lei de Faraday (no formato integral) diz que a integral de linha do campo elétrico ao redor de um laço fechado é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético através da superfície delimitada pelo laço:
Explicando: \Phi_{B} é o fluxo magnético (campo B multiplicado pela área efetiva quando B é perpendicular à superfície).
Passo 4
Aplicando simetria e escolhendo o laço:
Pelo problema temos simetria circular em torno do eixo do solenóide, então o campo elétrico induzido é tangencial e tem a mesma magnitude E(t) ao longo de um círculo de raio r. Assim a integral de linha é
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = E(t)\cdot 2\pi r.
O fluxo magnético através do círculo de raio r (dentro do solenóide) é
Expressão numérica final (antes de arredondar): E_{\max}=0{,}88704\,\pi^{2}\\ \mathrm{V/m}. Agora calculando \pi^{2}\approx 9{,}8696 e multiplicando obtemos o valor numérico que vou apresentar como resposta final arredondada de forma razoável (2 casas significativas após a vírgula).