Uma fonte pontual emite ondas sonoras isotropicamente. A intensidade das ondas a 2,5 m da fonte é 1,91 times 10^-4 W / m^2. Supondo que a energia da onda é conservada, encontre a intensidade (a) a 0,500 m e (b) a 3,00 m da fonte. © Qual é a potência da fonte? (d) Uma molécula de ar a 2,5 m da fonte oscila com uma velocidade máxima de 5,20 times 10^-5 m / s e um deslocamento máximo de 5,50 times 10^-9 m. Encontre a frequência da fonte. (e) Encontre o número de onda das ondas sonoras. (f) Encontre a velocidade angular das ondas. (g) Encontre o deslocamento de fase entre duas moléculas de ar separadas por 0,750 m. (h) Encontre a velocidade máxima e (i) o deslocamento máximo de uma molécula de ar a 0,500 m da fonte. (j) Encontre a velocidade máxima e (k) o deslocamento máximo de uma molécula de ar a 3,00 m da fonte. (l) A velocidade do som no ar diminui para 320 m / s. A fonte emite uma onda com a mesma frequência e a mesma pressão que antes. Qual é o novo valor (d) de sm. (e) de k e (f) de omega?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que uma fonte pontual emite ondas sonoras de forma isotrópica. A gente sabe a intensidade a 2,5 m e vai encontrar:
  • (a) e (b) intensidades a outras distâncias usando a lei do inverso do quadrado;
  • © potência da fonte via P=Icdot4pi r^2;
  • (d) a frequência a partir de movimento harmônico simples ( vmax=2pi f,smax);
  • (e) número de onda k=2pi/lambda com lambda=v/f;
  • (f) velocidade angular omega=2pi f;
  • (g) diferença de fase De;
  • (h)–(k) amplitudes e velocidades máximas em outras distâncias (amplitude cai como 1/r);
  • (l) com vrm som mudando, ver como muda smax, k e omega mantendo mesma frequência e pressão.
Para resolver vamos usar teoria de ondas harmônicas e propriedades de fontes pontuais.

Passo 2

(a) e (b) – Intensidade em função da distância:
I(r)=P4pi r^2LongrightarrowI(r)I0=l(r0rr)^2
Como I0=1,91times10^-4rm W/m^2 a r0=2,5,m:
(a) em r=0,5,m
$$I(0{,}5)=1{,}91\times10{-4}\Bigl(\frac{2{,}5}{0{,}5}\Bigr)2
=1{,}91\times10^{-4}\times25
=4{,}78\times10^{-3},\rm W/m^2. I(0,5)=1,91times10^-4l(2,50,5r)^2 =1,91times10^-4times25 =4,78times10^-3,rm W/m^2I(3)=1{,}91\times10{-4}\Bigl(\frac{2{,}5}{3{,}0}\Bigr)2
=1{,}91\times10^{-4}\times0{,}6944
=1{,}33\times10^{-4},\rm W/m^2.$$

Passo 3

© – Potência da fonte:
P=I0;4pi r0^2 =1,91times10^-4times4pitimes(2,5)^2 =1,50times10^-2,rm W

Passo 4

(d) – Frequência a partir do MHS:
vmax=2pi f,smax Longrightarrow f=vmax2pi,smax =5,20times10^-52pitimes5,50times10^-9 approx1,50times10^3,rm Hz

Passo 5

(e) – Número de onda k:
primeiro a velocidade do som usual v=343,m/s, logo
lambda=vf=3431,50times10^3approx0,2287rm m,
k=2pilambdaapprox2pi0,2287approx27,5 rm rad/m

Passo 6

(f) – Velocidade angular:
omega=2pi f=2pitimes1,50times10^3approx9,42times10^3 rm rad/s

Passo 7

(g) – Deslocamento de fase entre moléculas separadas Dem:

Passo 8

(h),(i) – Na MHS, smax(r)propto1/r e vmax(r)=2pi f,smax(r).
Em r0=2,5,m temos s0=5,50times10^-9,m.
Para r=0,5,m:
$$s_{\max}(0{,}5)=5{,}50\times10^{-9},\frac{2{,}5}{0{,}5}
=2{,}75\times10^{-8},\rm m,$$
smax(0,5)=5,50times10^-9,2,50,5 =2,75times10^-8,rm m,

Passo 9

(j),(k) – Mesma lógica em r=3,00,m:
$$s_{\max}(3)=5{,}50\times10^{-9},\frac{2{,}5}{3{,}0}
=4{,}58\times10^{-9},\rm m,$$
smax(3)=5,50times10^-9,2,53,0 =4,58times10^-9,rm m,

Passo 10

(l) – Se a velocidade do som cai para v'=320,m/s, mas mantemos mesma frequência e mesma pressão máxima, então a amplitude escala como
pmax=Zomega smax, Z=rho v,
e pmax constante Rightarrowrho vomega smax=rho v'omega s'max. Como omega e rho não mudam:
$$s’{\max}=s{\max},\frac{v}{v’}
=5{,}50\times10^{-9},\frac{343}{320}
\approx5{,}90\times10^{-9},\rm m.$$
s'max=smax,vv' =5,50times10^-9,343320 approx5,90times10^-9,rm m

Resposta

(a) 4,78times10^-3,rm W/m^2
(b) 1,33times10^-4,rm W/m^2
© 1,50times10^-2,rm W
(d) 1,50times10^3,rm Hz
(e) kapprox27,5 rm rad/m
(f) omegaapprox9,42times10^3 rm rad/s
(g) De (ou 1,8,rad módulo 2pi)
(h) vmax(0,5)=2,59times10^-4,rm m/s
(i) smax(0,5)=2,75times10^-8,rm m
(j) vmax(3)=4,32times10^-5,rm m/s
(k) smax(3)=4,58times10^-9,rm m
(l) com v'=320,m/s:
 – s'max=5,90times10^-9,rm m
 – k'approx29,4 rm rad/m
 – omega'=9,42times10^3 rm rad/s

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