Uma bomba ê lançada de uma arma com velocidade inicial de 466 m / s, num ângulo de 57,4^circ com a horizontal. No topo da trajetória, a bomba explode em dois fragmentos de massas iguals. Um dos fragmentos, cuja velocidade imediatamente depois da explosão e nula, cai verticalmente. A que distância da arma cairá o outro, supondo que o terreno seja plano?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de física juntos! A questão fala sobre o lançamento de uma bomba com certa velocidade e ângulo, que no ponto mais alto da sua trajetória explode em dois pedaços iguais. Um desses pedaços para e cai direto, enquanto o outro continua seu caminho. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e leis de conservação de quantidade de movimento. Precisamos calcular a distância onde o segundo fragmento vai cair.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a trajetória da bomba até o ponto mais alto. Quando um projétil é lançado com uma velocidade inicial $ v_0 $ e um ângulo $ \theta $, ele tem componentes horizontal e vertical de velocidade. A componente vertical nos ajuda a encontrar o tempo que a bomba leva para chegar ao ponto mais alto.
A componente vertical da velocidade inicial é:
v0
Substituindo os valores:
theta

Passo 3

Vamos calcular $ v_{0y} $:
v0y
sin(57,4^circ) approx 0,841
v0y approx 466 cdot 0,841

Passo 4

No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero. Podemos usar a equação do tempo de subida:
tsubida = v0yg
Onde $ g = 9,8 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade.
g = 9,8 , m/s^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância horizontal que a bomba percorre até o ponto mais alto. A componente horizontal da velocidade é:
v0x = v0 cdot cos(theta)
Calculando:
cos(57,4^circ) approx 0,540
v0x = 466 cdot 0,540 approx 251,6 , m/s
A distância horizontal até o topo é:
d = v0x cdot tsubida
d = 251,6 cdot 40,04 approx 10,066 , m

Passo 6

No topo, a bomba explode em dois fragmentos de massas iguais. Um fragmento para completamente (velocidade zero) e o outro mantém a quantidade de movimento horizontal. Como a explosão não afeta a componente horizontal da quantidade de movimento do fragmento que continua, sua velocidade horizontal permanece a mesma: $ 251,6 , m/s $.

Passo 7

Agora, esse fragmento continua se movendo horizontalmente com velocidade $ v_{0x} = 251,6 , m/s $ e começa a cair verticalmente sob a influência da gravidade. O tempo que ele leva para cair pode ser calculado considerando que ele começa do topo da trajetória:
Como o ponto mais alto foi alcançado em $ t_{subida} = 40,04 , s $, e ele vai cair do mesmo nível, o tempo de queda será o mesmo: $ t_{queda} = 40,04 , s $.

Passo 8

Finalmente, a distância total que o fragmento percorre horizontalmente é:
Distância total = d + v0x cdot tqueda â
Distância total = 10,066 + 251,6 cdot 40,04 â
Distância total = 10,066 + 10,064 â
Distância total approx 20,130 , m â

Resposta

O segundo fragmento cairá aproximadamente a 20.130 metros da arma.

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