Uma fonte pontual de 1,0 \mathrm{~W} emite ondas sonoras isotropicamente. Supondo que a energia da onda é conservada, determine a intensidade a 5,0 \mathrm{~m} da fonte.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Fonte pontual com potência fornecida P=1,0\\ \mathrm{W}.
  • Emissão isotrópica (mesma potência distribuída igualmente em todas as direções).
  • Conservação de energia (toda a potência sai da fonte e se espalha sem perdas).
  • Distância onde queremos a intensidade: r=5,0\\ \mathrm{m}.
O que se pede: determinar a intensidade sonora I a r=5,0\\ \mathrm{m} da fonte.

Passo 2

O que é intensidade sonora e como ela se relaciona com potência?
  • Intensão I é a potência por unidade de área recebida pela onda num ponto: ela mede quanta energia (por segundo) atravessa cada metro quadrado perpendicularmente à direção de propagação.
  • Em fórmula: I=\frac{P}{A} onde:
    • I é a intensidade (em \mathrm{W/m^2}),
    • P é a potência emitida (em \mathrm{W}),
    • A é a área através da qual a potência se distribui (em \mathrm{m^2}).
Vou explicar por que usamos esta fórmula: potência é energia por tempo que sai da fonte; se essa energia está sendo espalhada sobre uma superfície de área A, cada unidade de área só recebe uma fração P/A da potência total.

Passo 3

Qual é a área onde a potência se distribui, no caso de emissão isotrópica?
  • Emissão isotrópica significa que a onda sonora se espalha igualmente em todas as direções; a superfície onde a energia se distribui a uma distância r da fonte é uma esfera de raio r.
  • A área da superfície de uma esfera de raio r é dada por A = 4\pi r^2.
    • Aqui r é o raio da esfera (a distância até o ponto onde medimos a intensidade),
    • \pi é a constante \approx 3{,}1416.

Passo 4

Combinar as fórmulas para obter a intensidade em função de P e r.
  • Substituindo A=4\pi r^2 em \displaystyle I=\frac{P}{A} obtemos a fórmula usada em acústica para uma fonte pontual isotrópica: I=\frac{P}{4\pi r^2}.
  • Explicando as variáveis novamente:
    • P é a potência emitida pela fonte,
    • r é a distância da fonte até o ponto onde se calcula a intensidade,
    • I é a intensidade resultante naquele ponto.

Passo 5

Substituir os valores numéricos dados no problema.
  • Temos P=1,0\\ \mathrm{W} e r=5,0\\ \mathrm{m}.
  • A área da esfera a r=5,0\\ \mathrm{m} é A = 4\pi r^2 = 4\pi(5,0)^2 = 4\pi\cdot 25 = 100\pi\\ \mathrm{m^2}.
  • Assim a intensidade é I=\frac{1,0\\ \mathrm{W}}{100\pi\\ \mathrm{m^2}}=\frac{1,0}{100\pi}\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 6

Avaliar numericamente a fração (fazendo uma aproximação para \pi).
  • Usando \pi\approx 3{,}1416: I=\frac{1,0}{100\cdot 3{,}1416}\\ \mathrm{W/m^2}=\frac{1,0}{314{,}16}\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Dividindo 1,0 por 314{,}16 (cálculo feito à mão com aproximação): I\approx 0{,}003183\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Arredondando para três algarismos significativos: I\approx 3{,}18\times 10^{-3}\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 7

Interpretação rápida e verificação de ordem de grandeza
  • A intensidade obtida é pequena, como esperado a 5{,}0\\ \mathrm{m} de uma fonte de apenas 1,0\\ \mathrm{W}.
  • Verificação: se dobrarmos a distância, a intensidade cai por um fator 4 (porque depende de 1/r^2), o que é coerente com espalhamento esférico.

Resposta

I=3{,}18\times 10^{-3}\\ \mathrm{W/m^2}

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