Problema 2 Uma partícula de
está em movimento harmônico simples em uma dimensão e se move de acordo com a equação
com
em segundos. (a) Em
, quais são o deslocamento, a velocidade, a aceleração, a fase do movimento, a freqência e o período do movimento? (b) Em que valor de
a energia potencial da partícula é igual à metade da energia total?
Passo 1
Dados e o que o enunciado pede.
- Massa da partícula:
. - Lei do movimento:
Aqui identificamos: - O enunciado pergunta:
(a) em: o deslocamento , a velocidade , a aceleração , a fase do movimento (valor do argumento do cosseno em ), a frequência e o período do movimento;
(b) os valores deem que a energia potencial é igual à metade da energia total.
Passo 2
Relembrando as fórmulas básicas do movimento harmônico simples (MHS) que vamos usar — explicando cada símbolo.
-
A posição no MHS éonde
é a amplitude (maior deslocamento), é a velocidade angular (em rad/s), e é a fase inicial (em rad). O argumento é a fase instantânea do movimento. -
A velocidade é a derivada temporal de
. Derivando temos Aquitem unidade de . -
A aceleração é a derivada de
(ou a segunda derivada de ). Derivando novamente: Observação útil: a aceleração está sempre dirigida para o centro e proporcional (com sinal negativo) ao deslocamento. -
Relações entre
, frequência e período :
Passo 3
Calcular o deslocamento em
.
-
A fase instantânea em
é . -
Usamos
. Como é função par, . Logo: -
Valor numérico (3 algarismos significativos):
Passo 4
Derivar e calcular a velocidade em
.
-
Fórmula da velocidade:
. -
Em
: Sabemos. Substituindo: -
Forma exata simples:
-
Valor numérico (3 sf): usando
e :
Passo 5
Calcular a aceleração em
.
-
Fórmula:
ou . -
Em
: -
Forma exata:
-
Valor numérico (3 sf): calculando
e multiplicando por ,
Passo 6
Identificar a fase do movimento em
e explicar o significado.
- A fase instanteana é
(em radianos). - Significado: é o ângulo no argumento do cosseno que determina se a partícula começa deslocada para a direita/ esquerda e se a velocidade inicial é positiva/negativa. Aqui
indica que a partícula começa entre o equilíbrio e a máxima deslocamento positivo (já que ) com velocidade positiva.
Passo 7
Calcular a frequência e o período.
-
Frequência:Em unidades:
. -
Período:
Passo 8
Resolver a parte (b): encontrar
tal que energia potencial
é metade da energia total
.
- Em MHS com constante elástica
relacionada por , a energia potencial em deslocamento é - A energia total (constante) é a soma de energia potencial e cinética; sua forma máxima (em termos de amplitude) é
- Queremos
. Substituindo as expressões: Simplificando (cancelando dos dois lados): Portanto: - Com
obtemos: - Interpretação rápida: nesses pontos a energia potencial e a energia cinética têm a mesma quantidade (
cada).
Resposta
(a)
fase em :
frequência:
período:
fase em
frequência:
período:
(b)