Problema 2 Uma partícula de 3,0 \mathrm{~kg} está em movimento harmônico simples em uma dimensão e se move de acordo com a equação
x=5,0(\mathrm{~m}) \cos \left[\frac{\pi}{3}(\mathrm{rad} / \mathrm{s}) t-\frac{\pi}{4}(\mathrm{rad})\right]
com t em segundos. (a) Em t=0 \mathrm{~s}, quais são o deslocamento, a velocidade, a aceleração, a fase do movimento, a freqência e o período do movimento? (b) Em que valor de x a energia potencial da partícula é igual à metade da energia total?

Passo 1

Dados e o que o enunciado pede.
  • Massa da partícula: m=3{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Lei do movimento: x(t)=5{,}0\\ (\mathrm{m})\cos\!\left[\frac{\pi}{3}\\ (\mathrm{rad/s})\,t-\frac{\pi}{4}\\ (\mathrm{rad})\right].Aqui identificamos: A=5{,}0\\ \mathrm{m},\qquad \omega=\frac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s},\qquad \varphi=-\frac{\pi}{4}\\ \mathrm{rad}.
  • O enunciado pergunta:
    (a) em t=0\\ \mathrm{s}: o deslocamento x(0), a velocidade v(0), a aceleração a(0), a fase do movimento (valor do argumento do cosseno em t=0), a frequência e o período do movimento;
    (b) os valores de x em que a energia potencial é igual à metade da energia total.

Passo 2

Relembrando as fórmulas básicas do movimento harmônico simples (MHS) que vamos usar — explicando cada símbolo.
  • A posição no MHS é x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
    onde A é a amplitude (maior deslocamento), \omega é a velocidade angular (em rad/s), e \varphi é a fase inicial (em rad). O argumento \omega t+\varphi é a fase instantânea do movimento.
  • A velocidade é a derivada temporal de x(t). Derivando temos v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
    Aqui v(t) tem unidade de \mathrm{m/s}.
  • A aceleração é a derivada de v(t) (ou a segunda derivada de x). Derivando novamente: a(t)=\frac{dv}{dt}=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi)=-\omega^{2}x(t).
    Observação útil: a aceleração está sempre dirigida para o centro e proporcional (com sinal negativo) ao deslocamento.
  • Relações entre \omega, frequência f e período T: f=\frac{\omega}{2\pi},\qquad T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}.

Passo 3

Calcular o deslocamento em t=0.
  • A fase instantânea em t=0 é \omega\cdot 0+\varphi=\varphi=-\dfrac{\pi}{4}.
  • Usamos x(0)=A\cos(\varphi). Como \cos é função par, \cos(-\pi/4)=\cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Logo:
    x(0)=5{,}0\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5{,}0}{\sqrt{2}}=\frac{5{,}0\sqrt{2}}{2}.
  • Valor numérico (3 algarismos significativos): x(0)=\frac{5{,}0}{\sqrt{2}}\approx 3{,}54\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Derivar e calcular a velocidade em t=0.
  • Fórmula da velocidade: v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
  • Em t=0: v(0)=-A\omega\sin(\varphi).
    Sabemos \sin(-\pi/4)=-\sin(\pi/4)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Substituindo:
    v(0)=-5{,}0\cdot\frac{\pi}{3}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=5{,}0\cdot\frac{\pi}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • Forma exata simples: v(0)=\frac{5{,}0\,\pi\sqrt{2}}{6}.
  • Valor numérico (3 sf): usando \pi\approx 3{,}14159265 e \sqrt{2}\approx 1{,}41421356:
    v(0)\approx 3{,}70\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a aceleração em t=0.
  • Fórmula: a(t)=-\omega^{2}x(t) ou a(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).
  • Em t=0: a(0)=-\omega^{2}x(0)=-\left(\frac{\pi}{3}\right)^{2}\cdot\frac{5{,}0}{\sqrt{2}}.
  • Forma exata: a(0)=-\frac{5{,}0\,\pi^{2}}{9\sqrt{2}}.
  • Valor numérico (3 sf): calculando \omega^{2}=(\pi/3)^{2}\approx 1{,}09662 e multiplicando por x(0)\approx 3{,}5355\\ \mathrm{m},
    a(0)\approx -3{,}88\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Identificar a fase do movimento em t=0 e explicar o significado.
  • A fase instanteana é \theta(0)=\omega\cdot 0+\varphi=\varphi=-\dfrac{\pi}{4} (em radianos).
  • Significado: é o ângulo no argumento do cosseno que determina se a partícula começa deslocada para a direita/ esquerda e se a velocidade inicial é positiva/negativa. Aqui -\pi/4 indica que a partícula começa entre o equilíbrio e a máxima deslocamento positivo (já que x(0)>0) com velocidade positiva.

Passo 7

Calcular a frequência e o período.
  • Frequência: f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{\pi/3}{2\pi}=\frac{1}{6}.
    Em unidades: f=\dfrac{1}{6}\\ \mathrm{Hz}\approx 0{,}167\\ \mathrm{Hz}.
  • Período: T=\frac{1}{f}=6\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Resolver a parte (b): encontrar x tal que energia potencial U é metade da energia total E.
  • Em MHS com constante elástica k relacionada por k=m\omega^{2}, a energia potencial em deslocamento x é U(x)=\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}.
  • A energia total (constante) é a soma de energia potencial e cinética; sua forma máxima (em termos de amplitude) é E=\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}.
  • Queremos U(x)=\dfrac{E}{2}. Substituindo as expressões: \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}\right).Simplificando (cancelando \frac{1}{2}m\omega^{2} dos dois lados): x^{2}=\frac{A^{2}}{2}.Portanto: x=\pm\frac{A}{\sqrt{2}}.
  • Com A=5{,}0\\ \mathrm{m} obtemos: x=\pm\frac{5{,}0}{\sqrt{2}}=\pm\frac{5{,}0\sqrt{2}}{2}\approx\pm 3{,}54\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação rápida: nesses pontos a energia potencial e a energia cinética têm a mesma quantidade ( E/2 cada).

Resposta

(a) x(0)=\dfrac{5{,}0}{\sqrt{2}}\\ \mathrm{m}\approx 3{,}54\\ \mathrm{m}.
v(0)=\dfrac{5{,}0\,\pi\sqrt{2}}{6}\\ \mathrm{m/s}\approx 3{,}70\\ \mathrm{m/s}.
a(0)=-\dfrac{5{,}0\,\pi^{2}}{9\sqrt{2}}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx -3{,}88\\ \mathrm{m/s^{2}}.
fase em t=0: \varphi=-\dfrac{\pi}{4}\\ \mathrm{rad}.
frequência: f=\dfrac{1}{6}\\ \mathrm{Hz}\approx 0{,}167\\ \mathrm{Hz}.
período: T=6{,}0\\ \mathrm{s}.
(b) x=\pm\dfrac{A}{\sqrt{2}}=\pm\dfrac{5{,}0}{\sqrt{2}}\\ \mathrm{m}\approx \pm 3{,}54\\ \mathrm{m}.

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