Uma fonte trifásica equilibrada ligada em estrela com tensão de fase: V_{A N}=300 \angle 60^{\circ} \mathrm{V}, sequência A B C, alimenta uma carga equilibrada ligada em estrela equilibrada com impedancia Z=45-j 25 \Omega por fase. A impedancia da linha que liga a fonte a carga é de 15+j 10 \Omega port fase. Determinar as potencias aparente, ativa e reativa trifásicas fornecida pela fonte.

Passo 1

O enunciado pede as potências trifásicas (aparente, ativa e reativa) fornecidas pela fonte. As informações dadas são:
V_{AN}=300\angle 60^\circ\\ \text{V (tensão de fase da fonte)},ã
\text{sequência } A B C,ê
Z_{\text{carga por fase}}=45-j\,25\\ \Omega,
Z_{\text{linha por fase}}=15+j\,10\\ \Omega.
Pergunta explícita: determinar S_{3\varphi} (potência aparente trifásica), P_{3\varphi} (potência ativa trifásica) e Q_{3\varphi} (potência reativa trifásica) fornecidas pela fonte.

Passo 2

Montar o circuito por fase e calcular a impedância total por fase (soma em série da impedância da linha com a impedância da carga). Aqui somamos partes reais e imaginárias separadamente:
Z_{\text{fase}}=Z_{\text{linha}}+Z_{\text{carga}}=(15+j\,10)+(45-j\,25)=60-j\,15\\ \Omega.
Agora vamos achar o módulo e o argumento de Z_{\text{fase}}. O módulo é dado por \lvert Z\rvert=\sqrt{(\Re Z)^2+(\Im Z)^2} e o argumento por \angle Z=\arctan\!\left(\dfrac{\Im Z}{\Re Z}\right). Aplicando:
\lvert Z_{\text{fase}}\rvert=\sqrt{60^2+(-15)^2}=\sqrt{3600+225}=\sqrt{3825}\approx 61,85\\ \Omega,
\angle Z_{\text{fase}}=\arctan\!\left(\dfrac{-15}{60}\right)=\arctan(-0,25)\approx -14,04^\circ.

Passo 3

Calcular a corrente de fase I_A. Em regime senoidal, a corrente é tensão dividida pela impedância:
I_A=\frac{V_{AN}}{Z_{\text{fase}}}.
Usando representação fasorial em módulo e ângulo, dividimos módulos e subtraímos ângulos:
\lvert I_A\rvert=\frac{\lvert V_{AN}\rvert}{\lvert Z_{\text{fase}}\rvert}=\frac{300}{61,85}\approx 4,848\\ \text{A},
\angle I_A=\angle V_{AN}-\angle Z_{\text{fase}}=60^\circ-(-14,04^\circ)=74,04^\circ.
Logo
I_A\approx 4,848\angle 74,04^\circ\\ \text{A}.
Explicação didática rápida: dividir fasores é fácil no formato polar — divisão dos módulos e subtração dos ângulos — por isso sempre é útil transformar impedâncias em módulo∠ângulo.

Passo 4

Definição e cálculo da potência complexa por fase. A potência complexa por fase é
S_{\text{fase}}=V_{fase}\,I_{fase}^*,
onde ^* indica conjugado complexo. Em forma polar, se V=\lvert V\rvert\angle\theta_V e I=\lvert I\rvert\angle\theta_I, então
S=\lvert V\rvert\lvert I\rvert\angle(\theta_V-\theta_I).
Aqui \lvert V\rvert\lvert I\rvert é o valor aparente por fase e o argumento \theta_V-\theta_I é o ângulo entre tensão e corrente (que determina a potência reativa). Aplicando:
\lvert S_{\text{fase}}\rvert=\lvert V_{AN}\rvert\lvert I_A\rvert=300\times 4,848\approx 1454,3\\ \text{VA},
\angle S_{\text{fase}}=60^\circ-74,04^\circ=-14,04^\circ.
Portanto, em forma polar:
S_{\text{fase}}\approx 1454,3\angle -14,04^\circ\\ \text{VA}.
Para obter potência ativa ( P) e reativa ( Q) por fase, usamos as relações entre a forma polar e a forma retangular:
P_{\text{fase}}=\lvert S\rvert\cos(\varphi),\qquad Q_{\text{fase}}=\lvert S\rvert\sin(\varphi),
onde \varphi=\angle S. Assim:
P_{\text{fase}}=1454,3\cos(-14,04^\circ)\approx 1454,3\times 0,97014\approx 1410,9\\ \text{W},
Q_{\text{fase}}=1454,3\sin(-14,04^\circ)\approx 1454,3\times(-0,24254)\approx -352,8\\ \text{VAr}.
Interpretação: Q_{\text{fase}} negativo indica que a carga+linha, vistos da fonte, apresentam efeito capacitivo (potência reativa entregue pela carga de sinal negativo).

Passo 5

Potência trifásica total. Para um sistema perfeitamente equilibrado, a potência total trifásica é três vezes a potência por fase:
S_{3\varphi}=3\,S_{\text{fase}},\qquad P_{3\varphi}=3\,P_{\text{fase}},\qquad Q_{3\varphi}=3\,Q_{\text{fase}}.
Aplicando os valores numéricos:
S_{3\varphi}\approx 3\times 1454,3\angle -14,04^\circ\approx 4362,9\angle -14,04^\circ\\ \text{VA},
P_{3\varphi}\approx 3\times 1410,9\approx 4232,7\\ \text{W},
Q_{3\varphi}\approx 3\times (-352,8)\approx -1058,4\\ \text{VAr}.
Observação final sobre fator de potência: o fator de potência é \cos(14,04^\circ)\approx 0,970 (leading, pois Q é negativo).

Resposta

S_{3\varphi}\approx 4362{,}9\angle -14{,}04^\circ\\ \text{VA}
P_{3\varphi}\approx 4232{,}7\\ \text{W}
Q_{3\varphi}\approx -1058{,}4\ \text{VAr}

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