Uma fonte trifásica equilibrada ligada em estrela com V_{A N}=300 \angle 60^{\circ} V, sequência A B C, alimenta uma carga equilibrada ligada em estrela impedancia Z=45-j 25 \Omega por fase. A impedancia da linha que liga a fonte a carga é fase. Determinar as potencias aparente, ativa e reativa trifásicas fornecida pela fonte.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede algo bem específico.
  • Dados fornecidos:
    V_{AN}=300\angle 60^\circ\\ \text{V (tensão fase da fonte, sequência }ABC)ãê
    A carga é equilibrada ligada em estrela com impedância por fase
    Z=45-j25\\ \Omega.
    O enunciado diz que “a impedância da linha … é fase” — vou interpretar isso como “a impedância da linha é nula por fase” (i.e., linha ideal sem queda por impedância). Não posso pedir informação adicional, então sigo com essa interpretação.
  • O que a questão pede:
    • Determinar as potências trifásicas fornecidas pela fonte:
      1. Potência aparente trifásica S_{3\varphi}.
      2. Potência ativa (real) trifásica P_{3\varphi}.
      3. Potência reativa trifásica Q_{3\varphi}.

Passo 2

Entendendo a estratégia (sem resolver ainda): para um sistema trifásico equilibrado com conexão estrela e linha ideal, cada fase vê diretamente a tensão de fase da fonte. Assim podemos resolver a partir de um único circuito fase (fase-a-neutro) e multiplicar por 3 para obter as potências trifásicas. Fórmulas importantes que vamos usar (explicadas em seguida):
I_{fase}=\frac{V_{fase}}{Z_{fase}},
S_{fase}=V_{fase}\,I_{fase}^*,
S_{3\varphi}=3\,S_{fase},\quad P_{3\varphi}=\Re(S_{3\varphi}),\quad Q_{3\varphi}=\Im(S_{3\varphi}).
Explicação das fórmulas (didática rápida):
  • \;I_{fase}=\dfrac{V_{fase}}{Z_{fase}}\; é a lei de Ohm em fasores: corrente é tensão dividida pela impedância (ambos fasores complexos).
  • \;S_{fase}=V_{fase}\,I_{fase}^*\; define potência complexa por fase; usamos o conjugado de I porque a potência complexa é V vezes a conjugada da corrente no referencial fasorial. O real de S é a potência ativa e a imaginária é a potência reativa.
  • Em sistema equilibrado ligado em estrela, todas as 3 fases têm o mesmo S_{fase}, então a potência trifásica é 3 vezes a por-fase.

Passo 3

Calcular a corrente por fase. Primeiro obtenha magnitude e argumento de Z.
Z=45-j25.
Magnitude de Z:
|Z|=\sqrt{45^{2}+(-25)^{2}}=\sqrt{2025+625}=\sqrt{2650}\approx 51{,}478\\ \Omega.
ângulo de Z:
\angle Z=\arctan\!\left(\frac{-25}{45}\right)= -29{,}0546^\circ.
Agora a corrente por fase:
I_{fase}=\frac{V_{AN}}{Z}=\frac{300\angle 60^\circ}{45-j25}.
Para ficar em forma fasorial, escrevemos a magnitude e o ângulo:
|I_{fase}|=\frac{300}{|Z|}=\frac{300}{51{,}478}\approx 5{,}82928\\ \text{A},
\angle I_{fase}=60^\circ - \angle Z = 60^\circ -(-29{,}0546^\circ)=89{,}0546^\circ.
Portanto
I_{fase}\approx 5{,}8293\angle 89{,}0546^\circ\\ \text{A}.

Passo 4

Calcular a potência complexa por fase usando S_{fase}=V_{fase}\,I_{fase}^*.
Observação importante sobre conjugado: se I_{fase}=|I|\angle\theta_I então I_{fase}^*=|I|\angle(-\theta_I). Ao multiplicar V_{fase}=|V|\angle\theta_V por I_{fase}^* o ângulo do produto é \theta_V+(-\theta_I)=\theta_V-\theta_I.
Calcule magnitude de S_{fase}:
|S_{fase}|=|V_{fase}|\cdot|I_{fase}|=300\cdot 5{,}829275\approx 1748{,}7825\\ \text{VA}.
ângulo de S_{fase}:
\angle S_{fase}=\angle V_{fase}-\angle I_{fase}=60^\circ-89{,}0546^\circ=-29{,}0546^\circ.
Assim em forma polar:
S_{fase}\approx 1748{,}7825\angle -29{,}0546^\circ\\ \text{VA}.
Mas para extrair P e Q é mais prático obter as partes real e imaginária:
P_{fase}=|S_{fase}|\cos(-29{,}0546^\circ)=1748{,}7825\cos(29{,}0546^\circ),
Q_{fase}=|S_{fase}|\sin(-29{,}0546^\circ)=-1748{,}7825\sin(29{,}0546^\circ).
Podemos fazer essas contas de modo exato usando a decomposição da impedância: uma expressão útil (menos tediosa em conta de prova) é
S_{fase}=\frac{|V_{fase}|^{2}}{Z^{*}}=\frac{300^{2}}{(45+j25)},
porque S=V\cdot I^*=V\cdot (V^*/Z^*)=|V|^2/Z^*. Usando essa forma:
Z^{*}=45+j25,
S_{fase}=\frac{90000}{45+j25}=\frac{90000(45-j25)}{45^{2}+25^{2}}=\frac{90000(45-j25)}{2650}.
Agora calcule as partes:
P_{fase}=\frac{90000\cdot 45}{2650}=\frac{90000}{2650}\cdot 45\approx 1528{,}3019\\ \text{W},
Q_{fase}=-\frac{90000\cdot 25}{2650}=-\frac{90000}{2650}\cdot 25\approx -849{,}0566\\ \text{VAR}.
(esses valores coincidem com os obtidos por trigonometria aplicada ao S_{fase} polar).

Passo 5

Obter as potências trifásicas multiplicando por 3 (sistema equilibrado).
P_{3\varphi}=3\,P_{fase}=3\cdot 1528{,}3018868\approx 4584{,}9057\\ \text{W}.
Q_{3\varphi}=3\,Q_{fase}=3\cdot(-849{,}0566038)\approx -2547{,}1698\\ \text{VAR}.
S_{3\varphi}=3\,S_{fase}=3\cdot 1748{,}7825\angle -29{,}0546^\circ \approx 5246{,}3475\angle -29{,}0546^\circ\\ \text{VA}.
Se quiser apenas a magnitude da potência aparente trifásica:
|S_{3\varphi}|=3\cdot 1748{,}7825\approx 5246{,}3475\\ \text{VA},
e o argumento (fator de potência) é -29{,}0546^\circ (ou fator de potência \cos(-29{,}0546^\circ) cap., indicando carga com reativo negativo — comportamento predominante capacitivo).

Resposta

S_{3\varphi}\approx 5246{,}35\angle -29{,}0546^\circ\\ \text{VA} (ou |S_{3\varphi}|\approx 5246{,}35\\ \text{VA})
P_{3\varphi}\approx 4584{,}91\\ \text{W}
Q_{3\varphi}\approx -2547{,}17\\ \text{VAR}

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