Se f(x) for derivável em x=36, e assuma que
f^{\prime}(36)=-8.5
Calcule o seguinte limite
L=\lim _{x \rightarrow 36}\left(\frac{f(x)-f(36)}{\sqrt{x}-6}\right)

Insira a seguir o valor L deste limite

\square
ATENÇÃO: Exceto no caso de inteiros, insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "

Passo 1

O enunciado diz que f é derivável em x=36 e que
f'(36) = -8.5.
Queremos calcular
L = \lim_{x\to36}\frac{f(x)-f(36)}{\sqrt{x}-6}.
Note que esse quociente tem forma \tfrac{0}{0}, então vamos fazer uma mudança de variável para simplificar.

Passo 2

Defina t = \sqrt{x}. Então x = t^2 e, quando x\to36, temos t\to6. Assim
L = \lim_{t\to6}\frac{f(t^2)-f(36)}{t-6} = \lim_{t\to6}\frac{f(t^2)-f(36)}{t^2-36}\,\frac{t^2-36}{t-6}.
Como
t^2-36 = (t-6)(t+6),
segue que
\frac{t^2-36}{t-6} = t+6.
Portanto
L = \lim_{t\to6}\frac{f(t^2)-f(36)}{t^2-36}\;(t+6).

Passo 3

Pela definição de derivada,
\lim_{t\to6}\frac{f(t^2)-f(36)}{t^2-36} = f'(36) = -8.5,
e ao mesmo tempo \lim_{t\to6}(t+6)=12. Logo
L = f'(36)\cdot 12 = -8.5 \times 12 = -102.

Resposta

-102

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