Parte A) Considere os Problemas 1-5 do Teste Verdadeiro Falso
  1. Se f e g forem deriváveis, então
\frac{d}{d x}[f(x)+g(x)]=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)
  1. Se f e g forem deriváveis, então
\frac{d}{d x}[f(x) g(x)]=f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)
  1. Se f e g forem deriváveis, então
\frac{d}{d x}[f(g(x))]=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x)
  1. Se f for derivável, então \frac{d}{d x} \sqrt{f(x)}=\frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{f(x)}}.
  2. Se f for derivável, então \frac{d}{d x} f(\sqrt{x})=\frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{x}}.
    (
    Parte A: Especificamente, considerando o Item 3 acima, justifique e insira aqui a sua resposta aqui: (
Partes B e C) Considere os Problemas 6 a 15 do Teste Verdadeiro Falso
6) Se y=e^{2}, então y^{\prime}=2 e.
7) \frac{d}{d x}\left(10^{x}\right)=x 10^{x-1}
8) \frac{d}{d x}(\ln 10)=\frac{1}{10}
9) \frac{d}{d x}\left(\operatorname{tg}^{2} x\right)=\frac{d}{d x}\left(\operatorname{sec} ^{2} x\right)
10) \frac{d}{d x}\left|x^{2}+x\right|=|2 x+1|
11) A derivada de um polinômio é um polinômio.
12) Se f(x)=\left(x^{6}-x^{4}\right)^{5}, então f^{(31)}(x)=0.
13) A derivada de uma função racional é uma função racional.
14) Uma equação de uma reta tangente à parábola y=x^{2} em (-2,4) é y-4=2 x(x+2).
15) Se g(x)=x^{5}, então \lim _{x \rightarrow 2} \frac{g(x)-g(2)}{x-2}=80.
(
Parte B: Especificamente, considerando o Item 6 acima, justifique e insira aqui a sua resposta aqui: (inserindo o valor \(\mathbf{0} se a afirmativa no Item 6 for falsa ou insira o valor \mathbf{1} se a afirmativa for verdadeira.)
Parte C : Especificamente, considerando o Item 14 acima, justifique e insira aqui a sua resposta aqui: (inserindo o valor \(\mathbf{0} se a afirmativa no Item 14 for falsa ou insira o valor \mathbf{1} se a afirmativa for verdadeira.))

Passo 1

O enunciado apresenta uma série de afirmações sobre derivadas e pede, em particular, que justifiquemos o Item 3 (regra da cadeia) para a Parte A, o Item 6 para a Parte B e o Item 14 para a Parte C. Vamos usar conceitos básicos de derivação: soma, produto, composta, constantes e equação de reta tangente.

Passo 2

Item 3: “Se f e g forem deriváveis, então
\frac{d}{d x}[f(g(x))]=f^{\prime}(g(x))\,g^{\prime}(x).

Isto é exatamente a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma composição f\circ g é o produto da derivada de f avaliada em g(x) pela derivada de g. Logo, a afirmação é verdadeira e o valor é \mathbf{1}.

Passo 3

Item 6: “Se y=e^{2}, então y^{\prime}=2e.”
Aqui y=e^2 é uma constante, pois não depende de x. A derivada de uma constante é zero. Portanto a afirmativa é falsa e o valor é \mathbf{0}.

Passo 4

Item 14: “Uma equação de uma reta tangente à parábola y=x^{2} em (-2,4) é y-4=2x(x+2).”
No ponto (-2,4) a inclinação é y'=2x\bigl|_{x=-2}=-4. Logo a reta deve ser
y-4=-4\,(x+2),
e não o dado quadrático. A afirmação é falsa, então o valor é \mathbf{0}.

Resposta

Parte A (Item 3): 1
Parte B (Item 6): 0
Parte C (Item 14): 0

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