Parte A) Enuncie cada uma das regras de derivação a seguir tanto em símbolos quanto em palavras.
(a) A Regra da Potência
(b) A Regra da Multiplicação por Constante
(c) A Regra da Soma
(d) A Regra da Diferença
(e) A Regra do Produto
(f) A Regra do Quociente
(g) A Regra da Cadeia
Parte B) Dê um exemplo não trivial envolvendo a regra do item (c).
Parte C) Dê um exemplo não trivial envolvendo a regra do item (g).

Passo 1

O enunciado pede (Parte A) formular em símbolos e em palavras sete regras de derivação: potência, multiplicação por constante, soma, diferença, produto, quociente e cadeia. Na Parte B e Parte C, pede exemplos não triviais de aplicação da regra da soma e da cadeia, respectivamente. Para resolver, vamos usar a definição de derivada e as regras básicas de diferenciação.

Passo 2

Regra da Potência
Em símbolos:
\frac{d}{dx}x^n = n\,x^{n-1},\quad n\in\mathbb{R}.
Em palavras: A derivada de x elevado a um expoente constante n é igual ao expoente n multiplicado por x elevado a n-1.

Passo 3

Regra da Multiplicação por Constante
Em símbolos:
\frac{d}{dx}\bigl[c\cdot g(x)\bigr] = c\cdot g'(x),\quad c\text{ constante}.
Em palavras: A derivada de uma função vezes uma constante é a constante multiplicada pela derivada da função.

Passo 4

Regra da Soma
Em símbolos:
\frac{d}{dx}\bigl[f(x)+g(x)\bigr] = f'(x)+g'(x).
Em palavras: A derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas de cada uma.

Passo 5

Regra da Diferença
Em símbolos:
\frac{d}{dx}\bigl[f(x)-g(x)\bigr] = f'(x)-g'(x).
Em palavras: A derivada da diferença de duas funções é a diferença das derivadas de cada uma.

Passo 6

Regra do Produto
Em símbolos:
\frac{d}{dx}\bigl[f(x)\,g(x)\bigr] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x).
Em palavras: A derivada do produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 7

Regra do Quociente
Em símbolos:
\frac{d}{dx}\!\Bigl[\frac{f(x)}{g(x)}\Bigr] = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\bigl[g(x)\bigr]^2},\quad g(x)\neq0.
Em palavras: A derivada do quociente de duas funções é o denominador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador.

Passo 8

Regra da Cadeia
Em símbolos:
\frac{d}{dx}\bigl[f\bigl(g(x)\bigr)\bigr] = f'\bigl(g(x)\bigr)\,\cdot g'(x).
Em palavras: Para a derivada de uma função composta f\circ g, derivamos f em relação à “camada externa” avaliando em g(x) e multiplicamos pela derivada de g(x).

Passo 9

Exemplo não trivial da Regra da Soma (Parte B)
Seja h(x)=x^4 + 3\sin(x).
Aplicando a regra da soma:
h'(x)=\frac{d}{dx}x^4 + \frac{d}{dx}\bigl[3\sin(x)\bigr] =4x^3 + 3\cos(x).

Passo 10

Exemplo não trivial da Regra da Cadeia (Parte C)
Seja
y = \sqrt{1 + \tan\bigl(x^2\bigr)} = \bigl(1+\tan(x^2)\bigr)^{\!1/2}.
Aplicando a regra da cadeia e depois a potência:
y' = \frac12\bigl(1+\tan(x^2)\bigr)^{-\!1/2}\;\cdot\frac{d}{dx}\bigl[1+\tan(x^2)\bigr] = \frac12\bigl(1+\tan(x^2)\bigr)^{-\!1/2}\cdot\operatorname{sec}^2(x^2)\cdot2x.
Simplificando,
y' = \frac{x\,\operatorname{sec}^2(x^2)}{\sqrt{\,1+\tan(x^2)\,}}.

Resposta

Parte A
(a) \frac{d}{dx}x^n= n\,x^{n-1}. Regra da Potência.
(b) \frac{d}{dx}[c\,g(x)]=c\,g'(x). Regra da Multiplicação por Constante.
(c) \frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x). Regra da Soma.
(d) \frac{d}{dx}[f(x)-g(x)]=f'(x)-g'(x). Regra da Diferença.
(e) \frac{d}{dx}[f(x)\,g(x)]=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x). Regra do Produto.
(f) \frac{d}{dx}\bigl[\tfrac{f(x)}{g(x)}\bigr]=\tfrac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2}. Regra do Quociente.
(g) \frac{d}{dx}[f(g(x))]=f'(g(x))\,g'(x). Regra da Cadeia.
Parte B
Exemplo não trivial da Regra da Soma:
\displaystyle h(x)=x^4+3\sin(x)\implies h'(x)=4x^3+3\cos(x).
Parte C
Exemplo não trivial da Regra da Cadeia:
\displaystyle y=\sqrt{1+\tan(x^2)}\implies y'=\frac{x\,\operatorname{sec}^2(x^2)}{\sqrt{1+\tan(x^2)}}.

Exercícios relacionados