Parte A) Enuncie cada uma das regras de derivação a seguir tanto em símbolos quanto em palavras.
(a) A Regra da Potência
(b) A Regra da Multiplicação por Constante
(c) A Regra da Soma
(d) A Regra da Diferença
(e) A Regra do Produto
(f) A Regra do Quociente
(g) A Regra da Cadeia
Parte B) Dê um exemplo não trivial envolvendo a regra do item (c).
Parte C) Dê um exemplo não trivial envolvendo a regra do item (g).
(a) A Regra da Potência
(b) A Regra da Multiplicação por Constante
(c) A Regra da Soma
(d) A Regra da Diferença
(e) A Regra do Produto
(f) A Regra do Quociente
(g) A Regra da Cadeia
Parte C) Dê um exemplo não trivial envolvendo a regra do item (g).
Passo 1
O enunciado pede (Parte A) formular em símbolos e em palavras sete regras de derivação: potência, multiplicação por constante, soma, diferença, produto, quociente e cadeia. Na Parte B e Parte C, pede exemplos não triviais de aplicação da regra da soma e da cadeia, respectivamente. Para resolver, vamos usar a definição de derivada e as regras básicas de diferenciação.
Passo 2
Regra da Potência
Em símbolos:
Em símbolos:
Em palavras: A derivada de
elevado a um expoente constante
é igual ao expoente
multiplicado por
elevado a
.
Passo 3
Regra da Multiplicação por Constante
Em símbolos:
Em símbolos:
Em palavras: A derivada de uma função vezes uma constante é a constante multiplicada pela derivada da função.
Passo 4
Regra da Soma
Em símbolos:
Em símbolos:
Em palavras: A derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas de cada uma.
Passo 5
Regra da Diferença
Em símbolos:
Em símbolos:
Em palavras: A derivada da diferença de duas funções é a diferença das derivadas de cada uma.
Passo 6
Regra do Produto
Em símbolos:
Em símbolos:
Em palavras: A derivada do produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Passo 7
Regra do Quociente
Em símbolos:
Em símbolos:
Em palavras: A derivada do quociente de duas funções é o denominador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador.
Passo 8
Regra da Cadeia
Em símbolos:
Em símbolos:
Em palavras: Para a derivada de uma função composta
, derivamos
em relação à “camada externa” avaliando em
e multiplicamos pela derivada de
.
Passo 9
Exemplo não trivial da Regra da Soma (Parte B)
Seja .
Aplicando a regra da soma:
Seja
Aplicando a regra da soma:
Passo 10
Exemplo não trivial da Regra da Cadeia (Parte C)
Seja
Seja
Aplicando a regra da cadeia e depois a potência:
Simplificando,
Resposta
Parte A
(a) . Regra da Potência.
(b) . Regra da Multiplicação por Constante.
(c) . Regra da Soma.
(d) . Regra da Diferença.
(e) . Regra do Produto.
(f) . Regra do Quociente.
(g) . Regra da Cadeia.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Parte B
Exemplo não trivial da Regra da Soma:
Exemplo não trivial da Regra da Soma:
Parte C
Exemplo não trivial da Regra da Cadeia:
Exemplo não trivial da Regra da Cadeia: