For each system
and the sequences
given below, determine if each of the
is an eigensequence of
, and if it is, also state the corresponding eigenvalue.
, where
is a strictly positive real constant.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear (ou melhor: operador sobre sequências)
definido por
e três sequências:
onde
é uma constante real estritamente positiva.
O que o problema pede: para cada uma das sequências determinar se ela é uma eigensequência de
; se for, indicar o autovalor (eigenvalue) correspondente.
O que o problema pede: para cada uma das sequências
Observação importante que vou usar nas contas: uma sequência
é uma eigensequência de
com autovalor
se e somente se
não for identicamente zero e existir um escalar
tal que, para todo índice
,
No caso do nosso
isso significa que, para todo
,
Passo 2
Vou explicar a equação geral de autovalores para este operador e o que ela implica, de forma bem didática. Partindo de
existem alguns casos simples para cada
:
- Se
, então . A equação vira Como nesse termo, pode-se dividir por e obter . - Se
, então . A equação vira e dividindo por (negativo) obtemos . - Se
, a equação dá , que é verdadeira para qualquer ; porém isso não impõe informação sobre nesse índice isoladamente — o problema é que precisa ser o mesmo para todos os .
Conclusão prática (regra que vou usar): para existir um único
que funcione para todos os
, a sequência
deve ter a mesma sinal (ou ser zero) para todos os índices que tenham valor diferente de zero. Em particular:
- Se
para todo (ou, pelo menos, para todo com ), então . - Se
para todo (ou para todo com ), então . - Se
muda de sinal (tem índices com valores positivos e outros com valores negativos), não existe único que satisfaça a igualdade para todos os .
Agora aplico essa regra às sequências dadas.
Passo 3
Análise de
com
.
Para todo
temos
. Então
também, e a igualdade para autovalor fica
Como
é estritamente positivo, pode-se dividir por
e obter
. Assim existe um único
(igual a
) que funciona para todo
. Além disso
não é a sequência zero (pois
). Logo
é uma eigensequência de
com autovalor
.
Explicação adicional curta para a prova: a constante positiva é sempre preservada pelo valor absoluto sem mudar, por isso o operador age como identidade sobre essa sequência.
Passo 4
Análise de
.
Aqui é essencial saber quais índices
são permitidos. Se a sequência é considerada para todos os inteiros
, então
toma valores positivos (quando
), zero (quando
) e negativos (quando
). Pelo raciocínio do passo anterior:
- Para
a condição exige . - Para
a condição exige .
Não existe um únicoque seja simultaneamente e . Portanto, se a sequência é definida em todos os inteiros, NÃO é uma eigensequência.
Se, por outro lado, a convenção do enunciado fosse que
só varia em
(apenas inteiros não negativos), então
é sempre
, e para
teríamos
; para
a igualdade é trivial
. Nesse caso particular (índices apenas não-negativos) a mesma
funciona para todos os
, e
seria uma eigensequência com
.
Resumo objetivo: com a convenção usual de sequências indexadas por todos os inteiros,
muda de sinal e não é eigensequência; se o domínio for só
, então é eigensequência com
. Como o enunciado não especifica domínio, a interpretação mais comum (índices em
) dá “não é eigensequência”.
Passo 5
Análise de
.
Para qualquer inteiro
(positivo, zero ou negativo) tem-se
. De fato
é sempre não-negativo e é estritamente positivo para
. Portanto
para todo
. A equação de autovalor fica
Para qualquer
podemos dividir por
e obtemos
. No índice
a igualdade
é trivial e não cria conflito. Logo existe um único
(igual a
) que funciona para todos os
. Como
não é a sequência identicamente zero, conclui-se que
é uma eigensequência de
com autovalor
.
Intuição simples:
é sempre não-negativo, então o operador valor absoluto não altera os termos, o que significa que
age como a identidade sobre essa sequência.