For each system
\mathscr{H} and the sequences \left\{x_{k}\right\} given below, determine if each of the x_{k} is an eigensequence of \mathscr{H}, and if it is, also state the corresponding eigenvalue.
\mathcal{H} x(n)=|x(n)|, x_{1}(n)=a, x_{2}(n)=n, x_{3}(n)=n^{2}, where a is a strictly positive real constant.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear (ou melhor: operador sobre sequências) \mathcal{H} definido por
\mathcal{H}x(n)=|x(n)|
e três sequências:
x_{1}(n)=a,\quad x_{2}(n)=n,\quad x_{3}(n)=n^{2},
onde a é uma constante real estritamente positiva.
O que o problema pede: para cada uma das sequências x_{1},x_{2},x_{3} determinar se ela é uma eigensequência de \mathcal{H}; se for, indicar o autovalor (eigenvalue) correspondente.
Observação importante que vou usar nas contas: uma sequência x é uma eigensequência de \mathcal{H} com autovalor \lambda se e somente se x não for identicamente zero e existir um escalar \lambda tal que, para todo índice n,
\mathcal{H}x(n)=\lambda\,x(n).
No caso do nosso \mathcal{H} isso significa que, para todo n,
|x(n)|=\lambda\,x(n).

Passo 2

Vou explicar a equação geral de autovalores para este operador e o que ela implica, de forma bem didática. Partindo de
|x(n)|=\lambda\,x(n)\quad\text{para todo }n,
existem alguns casos simples para cada n:
  • Se x(n)>0, então |x(n)|=x(n). A equação vira x(n)=\lambda\,x(n).Como x(n)\neq0 nesse termo, pode-se dividir por x(n) e obter \lambda=1.
  • Se x(n)<0, então |x(n)|=-x(n). A equação vira -x(n)=\lambda\,x(n),e dividindo por x(n) (negativo) obtemos \lambda=-1.
  • Se x(n)=0, a equação dá 0=\lambda\cdot0, que é verdadeira para qualquer \lambda; porém isso não impõe informação sobre \lambda nesse índice isoladamente — o problema é que \lambda precisa ser o mesmo para todos os n.
Conclusão prática (regra que vou usar): para existir um único \lambda que funcione para todos os n, a sequência x(n) deve ter a mesma sinal (ou ser zero) para todos os índices que tenham valor diferente de zero. Em particular:
  • Se x(n)>0 para todo n (ou, pelo menos, para todo n com x(n)\neq0), então \lambda=1.
  • Se x(n)<0 para todo n (ou para todo n com x(n)\neq0), então \lambda=-1.
  • Se x muda de sinal (tem índices com valores positivos e outros com valores negativos), não existe \lambda único que satisfaça a igualdade para todos os n.
Agora aplico essa regra às sequências dadas.

Passo 3

Análise de x_{1}(n)=a com a>0.
Para todo n temos x_{1}(n)=a>0. Então |x_{1}(n)|=a também, e a igualdade para autovalor fica
|x_{1}(n)|=a=\lambda\,a.
Como a é estritamente positivo, pode-se dividir por a e obter \lambda=1. Assim existe um único \lambda (igual a 1) que funciona para todo n. Além disso x_{1} não é a sequência zero (pois a>0). Logo x_{1} é uma eigensequência de \mathcal{H} com autovalor \lambda=1.
Explicação adicional curta para a prova: a constante positiva é sempre preservada pelo valor absoluto sem mudar, por isso o operador age como identidade sobre essa sequência.

Passo 4

Análise de x_{2}(n)=n.
Aqui é essencial saber quais índices n são permitidos. Se a sequência é considerada para todos os inteiros n\in\mathbb{Z}, então x_{2}(n) toma valores positivos (quando n>0), zero (quando n=0) e negativos (quando n<0). Pelo raciocínio do passo anterior:
  • Para n>0 a condição exige \lambda=1.
  • Para n<0 a condição exige \lambda=-1.
    Não existe um único \lambda que seja simultaneamente 1 e -1. Portanto, se a sequência é definida em todos os inteiros, x_{2} NÃO é uma eigensequência.
Se, por outro lado, a convenção do enunciado fosse que n só varia em \{0,1,2,\dots\} (apenas inteiros não negativos), então x_{2}(n)=n é sempre \ge0, e para n>0 teríamos \lambda=1; para n=0 a igualdade é trivial 0= \lambda\cdot0. Nesse caso particular (índices apenas não-negativos) a mesma \lambda=1 funciona para todos os n, e x_{2} seria uma eigensequência com \lambda=1.
Resumo objetivo: com a convenção usual de sequências indexadas por todos os inteiros, x_{2} muda de sinal e não é eigensequência; se o domínio for só n\ge0, então é eigensequência com \lambda=1. Como o enunciado não especifica domínio, a interpretação mais comum (índices em \mathbb{Z}) dá “não é eigensequência”.

Passo 5

Análise de x_{3}(n)=n^{2}.
Para qualquer inteiro n (positivo, zero ou negativo) tem-se n^{2}\ge0. De fato n^{2} é sempre não-negativo e é estritamente positivo para n\neq0. Portanto |x_{3}(n)|=|n^{2}|=n^{2}=x_{3}(n) para todo n. A equação de autovalor fica
|x_{3}(n)|=n^{2}=\lambda\,n^{2}.
Para qualquer n\neq0 podemos dividir por n^{2} e obtemos \lambda=1. No índice n=0 a igualdade 0=\lambda\cdot0 é trivial e não cria conflito. Logo existe um único \lambda (igual a 1) que funciona para todos os n. Como x_{3} não é a sequência identicamente zero, conclui-se que x_{3} é uma eigensequência de \mathcal{H} com autovalor \lambda=1.
Intuição simples: n^{2} é sempre não-negativo, então o operador valor absoluto não altera os termos, o que significa que \mathcal{H} age como a identidade sobre essa sequência.

Resposta

x_{1} é eigensequência de \mathcal{H} com autovalor \lambda=1.
x_{2} não é eigensequência de \mathcal{H} (se a sequência estiver definida para todos os inteiros n; se o domínio fosse apenas n\ge0, então seria eigensequência com \lambda=1).
x_{3} é eigensequência de \mathcal{H} com autovalor \lambda=1.

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