For each system
and the sequences
given below, determine if each of the
is an eigensequence of
, and if it is, also state the corresponding eigenvalue.
, and
, where
is a complex constant.
Passo 1
O enunciado dá o operador e as três sequências e pede que eu verifique, para cada sequência, se ela é uma eigensequência de
e, em caso afirmativo, qual é o autovalor correspondente.
Informações fornecidas (peguei do enunciado):
- O operador é
definido por . - As sequências são:
-
, onde é uma constante complexa. -
, com o mesmo complexo. -
.
-
- O que se pede para cada
: - Determinar se existe um número escalar
(autovalor) tal que para todo . - Se sim, indicar esse
.
- Determinar se existe um número escalar
Passo 2
Definição útil e convenção que vou usar: chamamos de eigensequência (autovetor discreto) qualquer sequência
não-nula tal que exista
com
Observação importante: a sequência nula
satisfaz a igualdade para qualquer
, mas pela convenção usual não a consideramos uma eigensequência (autovetor) porque é trivial. Vou seguir essa convenção: exigir
.
Do ponto de vista prático, para este operador não-linear a condição fica
ou seja, para cada
vale
. Para sequências que não se anulam sempre podemos dividir por
(quando for permitido) para obter
, e aí exigir que isso seja independente de
.
Passo 3
Calculo
para todo
. A condição de autovalor é
Agora separo casos:
-
Se
, posso dividir por e obtenho Isso é consistente (um únicoindependente de ), logo quando a sequência é uma eigensequência com autovalor . -
Se
, então . Como disse antes, a sequência nula não é considerada uma eigensequência não-trivial; embora a igualdade seja formalmente verdadeira para qualquer , por convenção não contamos como eigensequência. Portanto para concluímos que não há uma eigensequência não-nula associada.
Resumo deste passo:
é eigensequência se, e somente se,
, e neste caso
.
Passo 4
Breve explicação didática: quando uma sequência é constante
, aplicar
dá
. A equação de autovalor pede que
. Se
isso sempre força
. Se
a equação não determina
(qualquer
funciona), mas a sequência é trivial e excluída.
Passo 5
Calculo
A condição de autovalor seria
Como
nunca é zero (exponencial complexa nunca anula), posso dividir por
e obtenho
Isso significa que a quantidade
tem de ser independente de
. Escrevendo em termos da base,
Para que
seja constante (independente de
) é necessário e suficiente que
. Logo a condição é
As soluções complexas dessa equação são
Se
satisfaz isso, então
para todo
, logo
(uma sequência constante) e então
logo
.
Se
não satisfaz
, então
varia com
e não existe
constante que satisfaça a igualdade para todos os
. Nesse caso
não é eigensequência.
Observação: o caso
está contido em
com
, daí dá
e
, consistentemente.
Passo 6
Calculo
A condição de autovalor é
Reescrevo como
Isto significa que para cada
ou
ou
. Para existir um único
que torne isso verdadeiro para todo
teríamos de ter que a função
(avaliada em todos os inteiros
) toma apenas valores no conjunto
. Mas a sequência
assume infinitamente muitos valores diferentes (por exemplo
etc.), então não existe
tal que
para todo
. Testes rápidos:
daria
para todo
(falso);
daria
para todo
(falso). Portanto não há
que satisfaça a igualdade para todo
.
Conclusão:
não é eigensequência.
Passo 7
- Para decidir se
é eigensequência do operador verificamos se existe constante tal que para todo . Quando é sempre não-nulo costumamos dividir e exigir independente de ; quando é nula a equação é trivial mas a sequência nula é excluída por convenção. - Aplicando isso aos três casos obtivemos os resultados concretos explicados acima.