For each system
\mathscr{H} and the sequences \left\{x_{k}\right\} given below, determine if each of the x_{k} is an eigensequence of \mathscr{H}, and if it is, also state the corresponding eigenvalue.
\mathcal{H} x(n)=x^{2}(n), x_{1}(n)=a, x_{2}(n)=e^{-a n}, and x_{3}(n)=\cos n, where a is a complex constant.

Passo 1

O enunciado dá o operador e as três sequências e pede que eu verifique, para cada sequência, se ela é uma eigensequência de \mathcal{H} e, em caso afirmativo, qual é o autovalor correspondente.
Informações fornecidas (peguei do enunciado):
  • O operador é \mathcal{H} definido por \mathcal{H}x(n)=x^{2}(n).
  • As sequências são:
    • x_{1}(n)=a, onde a é uma constante complexa.
    • x_{2}(n)=e^{-a n}, com o mesmo a complexo.
    • x_{3}(n)=\cos n.
  • O que se pede para cada x_{k}:
    • Determinar se existe um número escalar \lambda (autovalor) tal que \mathcal{H}x_{k}(n)=\lambda x_{k}(n) para todo n.
    • Se sim, indicar esse \lambda.

Passo 2

Definição útil e convenção que vou usar: chamamos de eigensequência (autovetor discreto) qualquer sequência x não-nula tal que exista \lambda\in\mathbb{C} com
\mathcal{H}x(n)=\lambda x(n)\quad\text{para todo }n.
Observação importante: a sequência nula x(n)\equiv0 satisfaz a igualdade para qualquer \lambda, mas pela convenção usual não a consideramos uma eigensequência (autovetor) porque é trivial. Vou seguir essa convenção: exigir x\not\equiv0.
Do ponto de vista prático, para este operador não-linear a condição fica
x^{2}(n)=\lambda x(n)\quad\text{para todo }n,
ou seja, para cada n vale x(n)\big(x(n)-\lambda\big)=0. Para sequências que não se anulam sempre podemos dividir por x(n) (quando for permitido) para obter \lambda=x(n), e aí exigir que isso seja independente de n.

Passo 3

Calculo \mathcal{H}x_{1}(n)=a^{2} para todo n. A condição de autovalor é
a^{2}=\lambda a.
Agora separo casos:
  • Se a\neq0, posso dividir por a e obtenho
    \lambda=a.
    Isso é consistente (um único \lambda independente de n), logo quando a\neq0 a sequência x_{1} é uma eigensequência com autovalor \lambda=a.
  • Se a=0, então x_{1}(n)\equiv0. Como disse antes, a sequência nula não é considerada uma eigensequência não-trivial; embora a igualdade \mathcal{H}x_{1}=\lambda x_{1} seja formalmente verdadeira para qualquer \lambda, por convenção não contamos x\equiv0 como eigensequência. Portanto para a=0 concluímos que não há uma eigensequência não-nula associada.
Resumo deste passo: x_{1} é eigensequência se, e somente se, a\neq0, e neste caso \lambda=a.

Passo 4

Breve explicação didática: quando uma sequência é constante x(n)=c, aplicar \mathcal{H} c^{2}. A equação de autovalor pede que c^{2}=\lambda c. Se c\neq0 isso sempre força \lambda=c. Se c=0 a equação não determina \lambda (qualquer \lambda funciona), mas a sequência é trivial e excluída.

Passo 5

Calculo
\mathcal{H}x_{2}(n)=\big(e^{-a n}\big)^{2}=e^{-2a n}.
A condição de autovalor seria
e^{-2a n}=\lambda e^{-a n}\quad\text{para todo }n.
Como e^{-a n} nunca é zero (exponencial complexa nunca anula), posso dividir por e^{-a n} e obtenho
e^{-a n}=\lambda\quad\text{para todo }n.
Isso significa que a quantidade e^{-a n} tem de ser independente de n. Escrevendo em termos da base,
e^{-a n}=(e^{-a})^{n}.
Para que (e^{-a})^{n} seja constante (independente de n) é necessário e suficiente que e^{-a}=1. Logo a condição é
e^{-a}=1.
As soluções complexas dessa equação são
a=2\pi i k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Se a satisfaz isso, então e^{-a n}=1 para todo n, logo x_{2}(n)\equiv1 (uma sequência constante) e então
\mathcal{H}x_{2}(n)=1=\lambda\cdot1,
logo \lambda=1.
Se a não satisfaz e^{-a}=1, então e^{-a n} varia com n e não existe \lambda constante que satisfaça a igualdade para todos os n. Nesse caso x_{2} não é eigensequência.
Observação: o caso a=0 está contido em a=2\pi i k com k=0, daí dá x_{2}\equiv1 e \lambda=1, consistentemente.

Passo 6

Calculo
\mathcal{H}x_{3}(n)=\cos^{2}n.
A condição de autovalor é
\cos^{2}n=\lambda\cos n\quad\text{para todo }n.
Reescrevo como
\cos n\big(\cos n-\lambda\big)=0\quad\text{para todo }n.
Isto significa que para cada n ou \cos n=0 ou \cos n=\lambda. Para existir um único \lambda que torne isso verdadeiro para todo n teríamos de ter que a função \cos n (avaliada em todos os inteiros n) toma apenas valores no conjunto \{0,\lambda\}. Mas a sequência \cos n assume infinitamente muitos valores diferentes (por exemplo \cos 0=1,\\ \cos 1\approx0,5403,\\ \cos 2\approx-0,4161, etc.), então não existe \lambda tal que \cos n\in\{0,\lambda\} para todo n. Testes rápidos: \lambda=0 daria \cos^{2}n=0 para todo n (falso); \lambda=1 daria \cos n\in\{0,1\} para todo n (falso). Portanto não há \lambda que satisfaça a igualdade para todo n.
Conclusão: x_{3} não é eigensequência.

Passo 7

  • Para decidir se x é eigensequência do operador \mathcal{H}x(n)=x^{2}(n) verificamos se existe constante \lambda tal que x^{2}(n)=\lambda x(n) para todo n. Quando x(n) é sempre não-nulo costumamos dividir e exigir \lambda=x(n) independente de n; quando x é nula a equação é trivial mas a sequência nula é excluída por convenção.
  • Aplicando isso aos três casos obtivemos os resultados concretos explicados acima.

Resposta

x_{1} é eigensequência se, e somente se, a\neq0; nesse caso o autovalor é \lambda=a.
x_{2} é eigensequência se, e somente se, e^{-a}=1 (isto é, a=2\pi i k,\\ k\in\mathbb{Z}); nesse caso x_{2}(n)\equiv1 e o autovalor é \lambda=1.
x_{3} não é eigensequência.

Exercícios relacionados