For each of the following baseband signals: (i) m(t)=cos 1000 t; (ii) m(t)=2 cos 1000 t+ cos 2000 t; (iii) m(t)=cos 1000 t cos 3000 t :
© Identify the upper sideband (USB) and the lower sideband (LSB) spectra.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede, para três sinais baseband , que a gente identifique a “upper sideband” (USB) e a “lower sideband” (LSB).
Conteúdo: transformada de Fourier de sinais simples (cossenos e produto de cossenos) e a ideia de banda lateral como sendo as partes do espectro em frequências positivas (USB) e negativas (LSB).
O que precisamos:
  • Saber que gera deltas em .
  • Para produto de cossenos, usar identidade trig e depois achar os deltas.
  • Depois separar o que está em (USB) e em (LSB).

Passo 2

Sinal (i):
m1(t)=cos(1000,t)
Transformada de Fourier (TF):
M1(omega)=pi,[de
– USB: componente em , ou seja
.
– LSB: componente em , ou seja
.

Passo 3

Sinal (ii):
m2(t)=2cos(1000,t)+cos(2000,t)
Cada cosseno vira pares de deltas:
  • M2(omega)=2pil[de
  • M2,USB(omega)=2pi,de
    Logo
M2,LSB(omega)=2pi,de
– USB ( ):
– LSB ( ):

Passo 4

Sinal (iii):
m3(t)=cos(1000,t),cos(3000,t)
Usamos a identidade
m3(t)=tfrac12l[cos(4000,t)+cos(2000,t)r] .
Então
M3(omega)=tfracpi2l[de
Transformada de cada termo:
  • M3,USB(omega)=tfracpi2l[de
  • M3,LSB(omega)=tfracpi2l[de
    Logo
– USB ( ):
– LSB ( ):

Resposta

(i) USB em , LSB em .
(ii) USB em (peso ) e (peso ); LSB nos simétricos em negativo.
(iii) USB em e (cada uma com peso ); LSB em e (mesmo peso).

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