Se f for uma função densidade de probabilidade de ocorrência de determinado evento, então a probabilidade de que o evento irá ocorrer no intervalo fechado [a, b] será denotada por P([a, b]) e a P([a, b])=\int_{a}^{b} f(x) d x. Para determinado tipo de bateria elétrica, a função densidade de probabilidade de que horas seja o tempo de vida útil de uma bateria escolhida ao acaso é dada por f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{60} e^{-\frac{x}{60}}, & \text { se } x \geq 0 \\\\ 0, & \text { se } x<0\end{array}\right. Ache a probabilidade de que uma bateria escolhida ao acaso:
não seja mais que 50 horas

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade de vida útil X\) de uma bateria, que segue distribuição exponencial com parâmetro \(\lambda = \tfrac{1}{60}\), ou seja, \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{60} e^{-\tfrac{x}{60}}, & x \ge 0,\\\\ 0, & x<0. \end{cases}
Queremos a probabilidade de que a bateria não dure mais de 50\] horas, ou seja, \(P(X \le 50).

Passo 2

Pela definição de probabilidade em um intervalo para variáveis contínuas, temos
P(X \le 50) \;=\; \int_{0}^{50} f(x)\,\mathrm{d}x \;=\; \int_{0}^{50} \frac{1}{60} e^{-\tfrac{x}{60}} \,\mathrm{d}x.

Passo 3

Para resolver a integral, note que uma primitiva de e^{-\tfrac{x}{60}} é -60\,e^{-\tfrac{x}{60}}. Logo,
\int \frac{1}{60} e^{-\tfrac{x}{60}} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{60}\,\bigl(-60 e^{-\tfrac{x}{60}}\bigr) = -\,e^{-\tfrac{x}{60}}.
Aplicando os limites de 0 a 50, obtém-se
\int_{0}^{50} \frac{1}{60} e^{-\tfrac{x}{60}} \,\mathrm{d}x = \Bigl[-\,e^{-\tfrac{x}{60}}\Bigr]_{0}^{50} = -\,e^{-\tfrac{50}{60}} - \bigl(-\,e^{0}\bigr).

Passo 4

Simplificando, temos
-\,e^{-\tfrac{50}{60}} + 1 = 1 - e^{-\tfrac{5}{6}}.

Resposta

P(X \le 50) = 1 - e^{-\tfrac{5}{6}} \approx 0{,}5654.

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