Se f for uma função densidade de probabilidade de ocorrência de determinado evento, então a probabilidade de que o evento irá ocorrer no intervalo fechado [a, b] será denotada por P([a, b]) e a P([a, b])=\int_{a}^{b} f(x) d x. Para determinado tipo de bateria elétrica, a função densidade de probabilidade de que horas seja o tempo de vida útil de uma bateria escolhida ao acaso é dada por f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{60} e^{-\frac{x}{60}}, & \text { se } x \geq 0 \\\\ 0, & \text { se } x<0\end{array}\right. Ache a probabilidade de que uma bateria escolhida ao acaso:
seja de pelo menos 75 horas.

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade de probabilidade
f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{60}e^{-x/60},& x\ge0,\\\\ 0,& x<0, \end{cases}
que é uma distribuição Exponencial de parâmetro \lambda = 1/60. Precisamos calcular a probabilidade de que o tempo de vida X de uma bateria seja pelo menos 75 horas, isto é,
P(X \ge 75).

Passo 2

Podemos usar a interpretação direta pela integral imprópria:
P(X\ge75)=\int_{75}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{75}^{\infty}\frac{1}{60}e^{-x/60}\,dx.

Passo 3

Calculemos a integral imprópria. Uma primitiva de \frac{1}{60}e^{-x/60} é -e^{-x/60}, pois
\frac{d}{dx}\bigl(-e^{-x/60}\bigr) =\frac{1}{60}e^{-x/60}.
Aplicando os limites:
\int_{75}^{\infty}\frac{1}{60}e^{-x/60}\,dx =\Bigl[-e^{-x/60}\Bigr]_{75}^{\infty} =\bigl(0\bigr)-\bigl(-e^{-75/60}\bigr) =e^{-75/60}.

Passo 4

Portanto
P(X\ge75)=e^{-75/60} =e^{-1{,}25}\approx0{,}2865.

Resposta

A probabilidade de que a bateria escolha ao acaso dure pelo menos 75 horas é
P(X\ge75)=e^{-75/60}\approx0{,}2865.

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