1^{\underline{a}} Questão ( \mathbf{8} pts) Calcule a área da região entre o gráfico de y=x \cos x e o eixo x, de x=0 a x=\pi.

Cálculos:

Resposta:

Passo 1

O enunciado pede a área da região entre o gráfico de y = x\cos x e o eixo x no intervalo de x=0 até x=\pi. Trata-se de uma área definida por integral de valor absoluto, pois a função muda de sinal dentro desse intervalo.

Passo 2

Identificamos onde x\cos x muda de sinal. Sabemos que \cos x>0 para 0\le x<\tfrac{\pi}{2} e \cos x<0 para \tfrac{\pi}{2}<x\le\pi. Portanto, a área pedida é
A=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cos x\,dx \;-\;\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}x\cos x\,dx
onde o sinal negativo no segundo termo corrige o fato de x\cos x ser negativo ali.

Passo 3

Calculamos a primitiva de x\cos x por partes. Tomando u=x e dv=\cos x\,dx, vem
u=x,\quad dv=\cos x\,dx\quad\Longrightarrow\quad du=dx,\;v=\sin x
Logo
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C.

Passo 4

Agora avaliamos
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cos x\,dx = \Bigl[x\sin x + \cos x\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \bigl(\tfrac{\pi}{2}\cdot1 + 0\bigr) - (0 + 1) = \tfrac{\pi}{2} - 1.

Passo 5

Em seguida,
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}x\cos x\,dx = \Bigl[x\sin x + \cos x\Bigr]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \bigl(\pi\cdot0 + (-1)\bigr) - \bigl(\tfrac{\pi}{2}\cdot1 + 0\bigr) = -1 - \tfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Somando as duas contribuições com o valor absoluto na parte negativa, obtemos
A = \bigl(\tfrac{\pi}{2} - 1\bigr) - \bigl(-1 - \tfrac{\pi}{2}\bigr) = \tfrac{\pi}{2} - 1 + 1 + \tfrac{\pi}{2} = \pi.

Resposta

\pi

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