Encontrar a solução geral usando o método indicado.
(c) y^{\prime \prime}-y=2 e^{t} (variação dos parâmetros)

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y'' - y = 2e^t
usando o método de variação de parâmetros. Esse método consiste em partir das duas soluções independentes da homogênea e depois construir uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Primeiro resolvemos a homogênea associada
y'' - y = 0.
A equação característica é
r^2 - 1 = 0\quad\Longrightarrow\quad r = \pm 1.
Logo as duas soluções independentes são
y_1(t) = e^t, \quad y_2(t) = e^{-t}.

Passo 3

Na variação de parâmetros buscamos uma solução particular da forma
y_p(t) = u_1(t)\,y_1(t) + u_2(t)\,y_2(t)
com as condições auxiliares
u_1'(t)\,y_1(t) + u_2'(t)\,y_2(t) = 0,
u_1'(t)\,y_1'(t) + u_2'(t)\,y_2'(t) = 2e^t.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^t & e^{-t} \\[3pt] e^t & -e^{-t} \end{vmatrix} = -2.
As fórmulas de variação de parâmetros dão
u_1'(t) = -\frac{y_2(t)\,g(t)}{W} = -\frac{e^{-t}\cdot 2e^t}{-2} = 1,
u_2'(t) = \frac{y_1(t)\,g(t)}{W} = \frac{e^t\cdot 2e^t}{-2} = -e^{2t}.]

Passo 5

Integramos para encontrar u_1 e u_2:
u_1(t) = \int 1\,dt = t, \qquad u_2(t) = \int -e^{2t}\,dt = -\tfrac12 e^{2t}.

Passo 6

Substituindo em y_p:
y_p(t) = t\,e^t \;-\;\tfrac12 e^{2t}\,e^{-t} = \bigl(t - \tfrac12\bigr)e^t.

Passo 7

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = C_1 e^t + C_2 e^{-t} + \bigl(t - \tfrac12\bigr)e^t.

Resposta

y(t) = C_1 e^t + C_2 e^{-t} + \Bigl(t - \tfrac12\Bigr)e^t.

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