Encontrar a solução geral usando o método indicado.
(c) y^{\prime \prime}-y=2 e^{t} (variação dos parâmetros)
Passo 1
O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y'' - y = 2e^t
usando o método de variação de parâmetros. Esse método consiste em partir das duas soluções independentes da homogênea e depois construir uma solução particular da não homogênea.
Passo 2
Primeiro resolvemos a homogênea associada
y'' - y = 0.
A equação característica é
r^2 - 1 = 0\quad\Longrightarrow\quad r = \pm 1.
Logo as duas soluções independentes são
y_1(t) = e^t, \quad y_2(t) = e^{-t}.
Passo 3
Na variação de parâmetros buscamos uma solução particular da forma