Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(33) integral e^x^2+4 x+3(x+2) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que calcular a integral:
integral e^x^2+4x+3(x+2) , dx
Esse exercício está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente ao método da substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que, quando substituída, simplifique a integral.

Passo 2

Vamos aplicar o método da substituição, que é útil quando a integral contém uma função composta. A ideia é escolher uma substituição u = x^2 + 4x + 3 que simplifique a integral. Observando a função , percebemos que o expoente é uma função quadrática.
Escolhemos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 2x + 4 em relação a du = (2x + 4) , dx para encontrar du = 2(x + 2) , dx :
Rearranjando, temos:
Podemos fatorar o 2:

Passo 4

Queremos expressar (x + 2) , dx = du2 em termos de . Dividindo ambos os lados da equação por 2:

Passo 5

Substituímos integral e^x^2+4x+3(x+2) , dx = integral e^u cdot du2 e 12 integral e^u , du na integral original:
Simplificando, tiramos a constante para fora da integral:

Passo 6

A integral de 12 e^u + C em relação a é simplesmente mais a constante de integração :

Passo 7

Finalmente, substituímos 12 e^x^2+4x+3 + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a .

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