2 For the irreversible gas-phase reaction:
the following correlation was determined from laboratory data (the initial concentration of A is
):
The volumetric flow rate is
.
a. Over what range of conversions are the plug-flow reactor and CSTR volumes identical?
b. What conversion will be achieved in a CSTR that has a volume of 90 L ?
c. What plug-flow reactor volume is necessary to achieve
conversion?
d. What CSTR reactor volume is required if effluent from the plug-flow reactor in part (c) is fed to a CSTR to raise the conversion to
?
e. If the reaction is carried out in a constant-pressure batch reactor in which pure A is fed to the reactor, what length of time is necessary to achieve
conversion?
f. Plot the rate of reaction and conversion as a function of PFR volume.
g. Critique the answers to this problem.
a. Over what range of conversions are the plug-flow reactor and CSTR volumes identical?
b. What conversion will be achieved in a CSTR that has a volume of 90 L ?
c. What plug-flow reactor volume is necessary to achieve
d. What CSTR reactor volume is required if effluent from the plug-flow reactor in part (c) is fed to a CSTR to raise the conversion to
e. If the reaction is carried out in a constant-pressure batch reactor in which pure A is fed to the reactor, what length of time is necessary to achieve
f. Plot the rate of reaction and conversion as a function of PFR volume.
g. Critique the answers to this problem.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Reação:
. - Concentração inicial de
: . - Vazão volumétrica (constante indicada):
. - Portanto o fluxo molar de entrada de
é
- A correlação experimental está dada em forma útil definindo
(unidades ):
- Note que
. - O enunciado pede:
a) intervalo deem que PFR e CSTR têm volumes idênticos;
b) conversão em um CSTR com;
c) volume de PFR para atingir;
d) volume do CSTR adicional necessário para elevar depara (alimentado pelo efluente do PFR);
e) tempo necessário em reator batelada (pressão constante) para;
f) como traçar (e alguns pontos) dee em função do volume do PFR;
g) crítica das respostas (assunções, plausibilidade, limitações).
Passo 2
Fórmulas de projeto básicas (explicação didática curta e necessária).
- Para um PFR (plug-flow reactor) a equação de projeto em termos de conversão é
Explicação:
e usando
e
e mudança de variável resulta nessa integral. Aqui
é mol/s e
tem unidade s·m^3/mol, logo o produto dá m^3.
- Para um CSTR único (condições estacionárias, mistura perfeita) a equação de projeto é
onde
é a taxa no efluente (avaliada na condição do efluente).
- Para um batelada (volume constante) a equação que relaciona tempo e conversão é
Explicação: em batelada
e
, daí
.
- Observação prática: é conveniente trabalhar com
porque a correlação experimental está direta em . Como , podemos reescrever integrais multiplicando por quando necessário.
Passo 3
Resposta à parte (a): intervalo de
onde volumes de PFR e CSTR são idênticos. Justificativa matemática passo a passo.
- Queremos
, ou seja
Cancelando
e multiplicando por
(para trabalhar com
) obtemos a condição equivalente
- Para
tem-se constante. Então
portanto equality vale para qualquer
.
- Para
usamos . Calcule a integral partida:
Fazendo as contas:
Somando:
A condição de igualdade
reduz-se a
Daí
(a solução positiva). Conclusão: fora de
não há outro ponto (exceto
limite) com igualdade.
Passo 4
Resposta e procedimento para (b): conversão em CSTR com
.
- Converter
para m^3: . - Equação do CSTR:
Usando
(lembrar
):
Rearranjando:
- Substituir números:
, .
Logo
- Observação:
é um número extremamente pequeno. Para tem então
que está bem abaixo de
, portanto é a solução válida. Para
cresceria, dando
ainda menor; portanto a solução física é
- Interpretação: com a vazão volumétrica muito grande e o volume pequeno, o tempo de residência é ínfimo e a conversão praticamente zero.
Passo 5
Resposta e procedimento para (c): Volume do PFR para
.
- Fórmula:
(Usamos
fator
.)
- Calcule a integral por partes: para
, ; para , .
Calcule a parcela:
Somando com
dá
- Agora
- Em litros:
. - Observação: valor imenso — resultado direto das constantes experimentais e da vazão elevada.
Passo 6
Resposta e procedimento para (d): CSTR necessário para elevar de
(saída do PFR) a
.
- Podemos usar a expressão de projeto por diferença para o segundo aparelho em série:
onde
(entrada do CSTR, medido em relação ao
original) e
(saída desejada). Importante: usa-se
consistente com base original porque a equação diferencial formulada em termos de
usa esse
.
- Avalie
. Para , . Então
- Calcule:
- Em litros:
.
Passo 7
Resposta e procedimento para (e): tempo em batelada para
(pressão constante, alimentação pura de
).
- Fórmula batelada:
- Para
, constante, então
- Logo
- Converter para unidades mais familiares:
- Conclusão óbvia: tempo astronomicamente grande — processo impraticável nas condições dadas.
Passo 8
Resposta e explicação para (f): como plotar
e
como função do volume do PFR; forneço equações paramétricas e alguns pontos para traçar.
- Estratégia prática: o volume do PFR é função monotônica de
através de
Logo é conveniente traçar
e simultaneamente
versus
usando
como parâmetro. Eixos típicos:
no eixo horizontal (muito grande aqui) e
e
no eixo vertical (duplo eixo).
- Fórmulas úteis:
- Para
:
- Para
- Para
:
- Alguns pontos numéricos (úteis para traçar;
em , em ):
Tabela (colunas:
;
;
)
-
: ; . -
: ;; . -
: ;; . -
: usar fórmula ;; . -
: (calculado antes);; . -
: ;; . -
: ;; . -
Orientações para o gráfico:
- Eixo
: de até, por exemplo, . - Eixo
esquerdo: conversão (0 a 1). - Eixo
direito: em escala . - Traçar
contra usando os pontos acima (curva crescente, pouco aumento de nos trechos iniciais requer volumes enormes). - Traçar
contra via os pontos acima (taxa constante até correspondente a , depois decresce com crescente).
- Eixo
-
Observação: os números mostram que volumes extremamente grandes são necessários para avanços de conversão razoáveis: isso se reflete no formato da curva
bem “achatada”.
Passo 9
Crítica (parte g): discussão das suposições, plausibilidade e observações práticas.
- Números absurdamente grandes: volumes e tempos calculados são gigantescos (ex.:
, séculos em batelada). Isso indica que, nas condições e com a correlação dada, o processo é economicamente e praticemente impraticável. Possíveis causas: - A constante de taxa efetiva é extremamente pequena (
), logo reação muito lenta. - Vazão volumétrica indicada (
) é muito alta para um processo típico de laboratório/industrial para concentrações dadas, reduzindo muito o tempo de residência.
- A constante de taxa efetiva é extremamente pequena (
- Suposições questionáveis:
- Admitimos vazão volumétrica constante ao longo do PFR e CSTR apesar da reação gasosa
mudar o número de mols (expansão de mols): isso é uma suposição forte. Em gases a pressão constante, o volume pode variar com conversão se a densidade muda. O enunciado dizia “gas-phase” e “volumetric flow rate is 5 m^3/s” — tratei como fluxo volumétrico constante (hipótese comum), mas isso pode não ser realista. - Ignorou-se variação de temperatura, efeitos de transporte, queda de pressão, não-idealidade do comportamento dos gases e possíveis limitações de transferência de massa/ calor.
- Admitimos vazão volumétrica constante ao longo do PFR e CSTR apesar da reação gasosa
- Sobre os métodos:
- Usei as fórmulas padrão de projeto que são válidas se as hipóteses de mistura perfeita (CSTR), plug flow (PFR) e condições operacionais (vazão constante, isobárico quando assumido) forem válidas.
- Verificações rápidas de consistência:
- Unidades: foram checadas passo a passo (o fator
presente na correlação torna necessário cuidado aritmético; por isso reescrevemos em termos de ). - Limites: igualdades entre PFR e CSTR ocorrendo para
fazem sentido porque é constante aí (isto é, curva de horizontal).
- Unidades: foram checadas passo a passo (o fator
- Conclusão prática: com os dados fornecidos a tecnologia, tal como sugerida, é inviável; para estudo conceitual serve para exercitar integrais e comparação PFR/CSTR, mas para projeto real seria necessário revisar taxa cinética (ou reduzir vazão ou aumentar concentração/temperatura/catalisador).
Resposta
(a)
(b)
(praticamente
).
(c)
(d)
(e)
(aprox.
anos).
(f) Equações paramétricas e pontos para plotagem:
- Para
: - Para
: - Pontos amostrais:
: -
, -
, -
, -
, -
, -
, -
.
-
(g) Crítica: resultados indicam processos impraticáveis (volumes e tempos absurdos); suposições (fluxo volumétrico constante, sem variação de densidade, sem efeitos de temperatura/pressão/transferência) limitam validade prática.