2 For the irreversible gas-phase reaction:

A \rightarrow 2 B
the following correlation was determined from laboratory data (the initial concentration of A is 0.2 \mathrm{~g} \mathrm{~mol} / \mathrm{L} ):
\begin{aligned} & \text { For } \mathrm{X} \leq 0.5: \frac{10^{-8}}{-\mathrm{r}_{k}}=3.0 \frac{\mathbf{m}^{3} \cdot \mathbf{s}}{\mathbf{m o l}} \\\ & \text { For } \mathrm{X}>0.5: \frac{10^{-8}}{-\mathrm{r}_{k}}=3.0+10(\mathrm{X}-0.5) \frac{\mathbf{m}^{3} \cdot \mathbf{s}}{\mathbf{m o l}} \end{aligned}
The volumetric flow rate is 5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.
a. Over what range of conversions are the plug-flow reactor and CSTR volumes identical?
b. What conversion will be achieved in a CSTR that has a volume of 90 L ?
c. What plug-flow reactor volume is necessary to achieve 70 \% conversion?
d. What CSTR reactor volume is required if effluent from the plug-flow reactor in part (c) is fed to a CSTR to raise the conversion to 90 \% ?
e. If the reaction is carried out in a constant-pressure batch reactor in which pure A is fed to the reactor, what length of time is necessary to achieve 40 \% conversion?
f. Plot the rate of reaction and conversion as a function of PFR volume.
g. Critique the answers to this problem.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Reação: A \rightarrow 2B.
  • Concentração inicial de A: \,C_{A0}=0{,}2\\ \mathrm{g\;mol/L}=0{,}2\\ \mathrm{mol/L}=200\\ \mathrm{mol/m^{3}}.
  • Vazão volumétrica (constante indicada): \,v_0=5\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Portanto o fluxo molar de entrada de A é
F_{A0}=v_0\,C_{A0}=5\cdot200=1000\\ \mathrm{mol/s}.
  • A correlação experimental está dada em forma útil definindo S(X)\equiv \dfrac{10^{-8}}{-r_k} (unidades \mathrm{m^{3}\,s/mol}):
\text{para }X\le 0{,}5:\quad S(X)=3{,}0,
\text{para }X>0{,}5:\quad S(X)=3{,}0+10(X-0{,}5)=10X-2.
  • Note que -r(X)=\dfrac{10^{-8}}{S(X)}.
  • O enunciado pede:
    a) intervalo de X em que PFR e CSTR têm volumes idênticos;
    b) conversão em um CSTR com V=90\\ \mathrm{L};
    c) volume de PFR para atingir X=0{,}70;
    d) volume do CSTR adicional necessário para elevar de X=0{,}70 para X=0{,}90 (alimentado pelo efluente do PFR);
    e) tempo necessário em reator batelada (pressão constante) para X=0{,}40;
    f) como traçar (e alguns pontos) de -r e X em função do volume do PFR;
    g) crítica das respostas (assunções, plausibilidade, limitações).

Passo 2

Fórmulas de projeto básicas (explicação didática curta e necessária).
  • Para um PFR (plug-flow reactor) a equação de projeto em termos de conversão é
V_{\mathrm{PFR}}=F_{A0}\int_{0}^{X}\frac{dX'}{-r(X')}.
Explicação: dN_A/dt=-V r_A e usando X e C_A=C_{A0}(1-X) e mudança de variável resulta nessa integral. Aqui F_{A0} é mol/s e 1/(-r) tem unidade s·m^3/mol, logo o produto dá m^3.
  • Para um CSTR único (condições estacionárias, mistura perfeita) a equação de projeto é
V_{\mathrm{CSTR}}=\frac{F_{A0}\,X}{-r(X)},
onde -r(X) é a taxa no efluente (avaliada na condição do efluente).
  • Para um batelada (volume constante) a equação que relaciona tempo e conversão é
t=\int_{0}^{X}\frac{C_{A0}\,dX'}{-r(X')}.
Explicação: em batelada dC_A/dt=-r e dX/dt=(-r)/C_{A0}, daí dt=C_{A0}\,dX/(-r).
  • Observação prática: é conveniente trabalhar com S(X)=\dfrac{10^{-8}}{-r(X)} porque a correlação experimental está direta em S. Como 1/(-r)=S/10^{-8}, podemos reescrever integrais multiplicando por 1/10^{-8}=10^{8} quando necessário.

Passo 3

Resposta à parte (a): intervalo de X onde volumes de PFR e CSTR são idênticos. Justificativa matemática passo a passo.
  • Queremos V_{\mathrm{PFR}}=V_{\mathrm{CSTR}}, ou seja
F_{A0}\int_{0}^{X}\frac{dX'}{-r(X')}=\frac{F_{A0}\,X}{-r(X)}.
Cancelando F_{A0} e multiplicando por 10^{-8} (para trabalhar com S) obtemos a condição equivalente
\int_{0}^{X}S(X')\,dX' = X\,S(X).
  • Para 0\le X\le 0{,}5 tem-se S(X)=3{,}0 constante. Então
\int_{0}^{X}S\,dX' = 3X = X\cdot 3 = X S(X),
portanto equality vale para qualquer X\in[0,0{,}5].
  • Para X>0{,}5 usamos S(X)=10X-2. Calcule a integral partida:
\int_{0}^{X}S\,dX'=\int_{0}^{0{,}5}3\,dX'+\int_{0{,}5}^{X}(10X'-2)\,dX'.
Fazendo as contas:
\int_{0}^{0{,}5}3\,dX'=1{,}5,
\int_{0{,}5}^{X}(10X'-2)\,dX'=\Big[5X'^{2}-2X'\Big]_{0{,}5}^{X}=5X^{2}-2X-(1{,}25-1{,}0)=5X^{2}-2X-0{,}25.
Somando:
\int_{0}^{X}S\,dX' = 1{,}25 +5X^{2}-2X.
A condição de igualdade \int_{0}^{X}S\,dX' = X S(X)=X(10X-2)=10X^{2}-2X reduz-se a
1{,}25 +5X^{2}-2X = 10X^{2}-2X \quad\Rightarrow\quad 5X^{2}=1{,}25 \quad\Rightarrow\quad X^{2}=0{,}25.
Daí X=0{,}5 (a solução positiva). Conclusão: fora de X\le0{,}5 não há outro ponto (exceto X=0{,}5 limite) com igualdade.

Passo 4

Resposta e procedimento para (b): conversão em CSTR com V=90\\ \mathrm{L}.
  • Converter V para m^3: \,V=90\\ \mathrm{L}=0{,}090\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Equação do CSTR:
V=\frac{F_{A0}\,X}{-r(X)}.
Usando S(X) (lembrar -r(X)=10^{-8}/S(X)):
V=\frac{F_{A0}\,X}{10^{-8}/S(X)} = \frac{F_{A0}\,X\,S(X)}{10^{-8}}.
Rearranjando:
F_{A0}\,X\,S(X)=V\cdot10^{-8}.
  • Substituir números: F_{A0}=1000\\ \mathrm{mol/s}, V\cdot10^{-8}=0{,}09\cdot10^{-8}=9{,}0\times10^{-10}.
    Logo
1000\;X\;S(X)=9{,}0\times10^{-10} \quad\Rightarrow\quad X\,S(X)=9{,}0\times10^{-13}.
  • Observação: 9\times10^{-13} é um número extremamente pequeno. Para X\le0{,}5 tem S=3 então
X=\frac{9\times10^{-13}}{3}=3{,}0\times10^{-13},
que está bem abaixo de 0{,}5, portanto é a solução válida. Para X>0{,}5 S\ge 3 cresceria, dando X ainda menor; portanto a solução física é
X\approx 3{,}0\times10^{-13}\\ (\text{adimensional})\approx 0\%.
  • Interpretação: com a vazão volumétrica muito grande e o volume pequeno, o tempo de residência é ínfimo e a conversão praticamente zero.

Passo 5

Resposta e procedimento para (c): Volume do PFR para X=0{,}70.
  • Fórmula:
V_{\mathrm{PFR}}=F_{A0}\int_{0}^{0{,}70}\frac{dX'}{-r(X')} = F_{A0}\cdot10^{8}\int_{0}^{0{,}70} S(X')\,dX'.
(Usamos 1/(-r)=S/10^{-8}\Rightarrow fator 10^{8}.)
  • Calcule a integral por partes: para 0\le X'\le0{,}5, S=3; para 0{,}5<X'\le0{,}7, S=10X'-2.
\int_{0}^{0{,}70}S\,dX' = \int_{0}^{0{,}5}3\,dX' + \int_{0{,}5}^{0{,}7}(10X'-2)\,dX' = 1{,}5 +\Big[5X'^{2}-2X'\Big]_{0{,}5}^{0{,}7}.
Calcule a parcela:
\Big[5X'^{2}-2X'\Big]_{0{,}5}^{0{,}7} = (5\cdot0{,}7^{2}-2\cdot0{,}7) - (5\cdot0{,}5^{2}-2\cdot0{,}5)
= (5\cdot0{,}49 -1{,}4) - (1{,}25 -1{,}0) = (2{,}45 -1{,}4) - 0{,}25 = 1{,}05 -0{,}25 =0{,}80.
Somando com 1{,}5
\int_{0}^{0{,}70}S\,dX' = 1{,}5+0{,}80=2{,}30.
  • Agora
V_{\mathrm{PFR}}=F_{A0}\cdot10^{8}\cdot 2{,}30 =1000\cdot10^{8}\cdot2{,}30 =2{,}30\times10^{11}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Em litros: 2{,}30\times10^{11}\\ \mathrm{m^{3}}=2{,}30\times10^{14}\\ \mathrm{L}.
  • Observação: valor imenso — resultado direto das constantes experimentais e da vazão elevada.

Passo 6

Resposta e procedimento para (d): CSTR necessário para elevar de X=0{,}70 (saída do PFR) a X=0{,}90.
  • Podemos usar a expressão de projeto por diferença para o segundo aparelho em série:
V_{\mathrm{CSTR,2}}=F_{A0}\,\frac{X_2-X_1}{-r(X_2)},
onde X_1=0{,}70 (entrada do CSTR, medido em relação ao C_{A0} original) e X_2=0{,}90 (saída desejada). Importante: usa-se F_{A0} consistente com base original porque a equação diferencial formulada em termos de X usa esse F_{A0}.
  • Avalie -r(X_2). Para X_2=0{,}90>0{,}5, S(0{,}90)=10\cdot0{,}90-2=9-2=7. Então
-r(0{,}90)=\frac{10^{-8}}{7}\approx 1{,}42857\times10^{-9}\\ \mathrm{mol/(m^{3}\,s)}.
  • Calcule:
V_{\mathrm{CSTR,2}} = \frac{1000\cdot(0{,}90-0{,}70)}{1{,}42857\times10^{-9}} = \frac{1000\cdot0{,}20}{1{,}42857\times10^{-9}}.
1000\cdot0{,}20=200,\quad \frac{200}{1{,}42857\times10^{-9}}=200\times7\times10^{8}=1{,}40\times10^{11}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Em litros: 1{,}40\times10^{11}\\ \mathrm{m^{3}}=1{,}40\times10^{14}\\ \mathrm{L}.

Passo 7

Resposta e procedimento para (e): tempo em batelada para X=0{,}40 (pressão constante, alimentação pura de A).
  • Fórmula batelada:
t=\int_{0}^{X}\frac{C_{A0}\,dX'}{-r(X')} = C_{A0}\cdot 10^{8}\int_{0}^{X} S(X')\,dX'.
  • Para X=0{,}40<0{,}5, S=3 constante, então
\int_{0}^{0{,}40}S\,dX'=3\cdot0{,}40=1{,}20.
  • Logo
t=C_{A0}\cdot10^{8}\cdot1{,}20 =200\cdot10^{8}\cdot1{,}20=200\times1{,}2\times10^{8}=240\times10^{8}=2{,}4\times10^{10}\\ \mathrm{s}.
  • Converter para unidades mais familiares:
2{,}4\times10^{10}\\ \mathrm{s}\approx \frac{2{,}4\times10^{10}}{3600\cdot24\cdot365}\\ \text{anos}\approx 760\\ \text{anos} \\ (\text{aprox.}).
  • Conclusão óbvia: tempo astronomicamente grande — processo impraticável nas condições dadas.

Passo 8

Resposta e explicação para (f): como plotar -r e X como função do volume do PFR; forneço equações paramétricas e alguns pontos para traçar.
  • Estratégia prática: o volume do PFR é função monotônica de X através de
V(X)=F_{A0}\cdot10^{8}\int_{0}^{X}S(X')\,dX'.
Logo é conveniente traçar X\mapsto V(X) e simultaneamente -r(X) versus V(X) usando X como parâmetro. Eixos típicos: V no eixo horizontal (muito grande aqui) e X e -r no eixo vertical (duplo eixo).
  • Fórmulas úteis:
    • Para 0\le X\le0{,}5:
    \int_{0}^{X}S\,dX'=3X,\quad V(X)=F_{A0}\,10^{8}\cdot3X=3X\times10^{11}\\ \mathrm{m^{3}}.
-r(X)=\frac{10^{-8}}{3}=3{,}3333\times10^{-9}\\ \mathrm{mol/(m^{3}\,s)}\quad(\text{constante}).
  • Para X>0{,}5:
\int_{0}^{X}S\,dX' = 1{,}25 +5X^{2}-2X,\quad V(X)=10^{11}\big(1{,}25+5X^{2}-2X\big).
-r(X)=\frac{10^{-8}}{10X-2}.
  • Alguns pontos numéricos (úteis para traçar; V em \mathrm{m^{3}}, -r em \mathrm{mol/(m^{3}\,s)}):
Tabela (colunas: X ; V(X) ; -r(X))
  • X=0{,}00: V=0; -r=\dfrac{10^{-8}}{3}=3{,}3333\times10^{-9}.
  • X=0{,}25: V=3\cdot0{,}25\times10^{11}=7{,}5\times10^{10};; -r=3{,}3333\times10^{-9}.
  • X=0{,}50: V=3\cdot0{,}5\times10^{11}=1{,}5\times10^{11};; -r=3{,}3333\times10^{-9}.
  • X=0{,}60: usar fórmula V=10^{11}(1{,}25+5(0{,}6)^{2}-2\cdot0{,}6)=10^{11}(1{,}25+1{,}8-1{,}2)=1{,}85\times10^{11};; S=10\cdot0{,}6-2=4\Rightarrow -r=2{,}5\times10^{-9}.
  • X=0{,}70: V=2{,}30\times10^{11} (calculado antes);; S=5\Rightarrow -r=2{,}0\times10^{-9}.
  • X=0{,}80: V=10^{11}(1{,}25+5\cdot0{,}64-1{,}6)=2{,}85\times10^{11};; S=6\Rightarrow -r=1{,}6667\times10^{-9}.
  • X=0{,}90: V=3{,}50\times10^{11};; S=7\Rightarrow -r=1{,}4286\times10^{-9}.
  • Orientações para o gráfico:
    • Eixo x: V de 0 até, por exemplo, 4\times10^{11}\\ \mathrm{m^{3}}.
    • Eixo y esquerdo: conversão X (0 a 1).
    • Eixo y direito: -r em escala \times10^{-9}.
    • Traçar X contra V usando os pontos acima (curva crescente, pouco aumento de X nos trechos iniciais requer volumes enormes).
    • Traçar -r contra V via os pontos acima (taxa constante até V=1{,}5\times10^{11} correspondente a X=0{,}5, depois decresce com V crescente).
  • Observação: os números mostram que volumes extremamente grandes são necessários para avanços de conversão razoáveis: isso se reflete no formato da curva X(V) bem “achatada”.

Passo 9

Crítica (parte g): discussão das suposições, plausibilidade e observações práticas.
  • Números absurdamente grandes: volumes e tempos calculados são gigantescos (ex.: 10^{11}\\ \mathrm{m^{3}}, séculos em batelada). Isso indica que, nas condições e com a correlação dada, o processo é economicamente e praticemente impraticável. Possíveis causas:
    • A constante de taxa efetiva é extremamente pequena ( -r\sim10^{-9}\\ \mathrm{mol/(m^{3}s)}), logo reação muito lenta.
    • Vazão volumétrica indicada ( 5\\ \mathrm{m^{3}/s}) é muito alta para um processo típico de laboratório/industrial para concentrações dadas, reduzindo muito o tempo de residência.
  • Suposições questionáveis:
    • Admitimos vazão volumétrica constante ao longo do PFR e CSTR apesar da reação gasosa A\rightarrow 2B mudar o número de mols (expansão de mols): isso é uma suposição forte. Em gases a pressão constante, o volume pode variar com conversão se a densidade muda. O enunciado dizia “gas-phase” e “volumetric flow rate is 5 m^3/s” — tratei como fluxo volumétrico constante (hipótese comum), mas isso pode não ser realista.
    • Ignorou-se variação de temperatura, efeitos de transporte, queda de pressão, não-idealidade do comportamento dos gases e possíveis limitações de transferência de massa/ calor.
  • Sobre os métodos:
    • Usei as fórmulas padrão de projeto que são válidas se as hipóteses de mistura perfeita (CSTR), plug flow (PFR) e condições operacionais (vazão constante, isobárico quando assumido) forem válidas.
  • Verificações rápidas de consistência:
    • Unidades: foram checadas passo a passo (o fator 10^{-8} presente na correlação torna necessário cuidado aritmético; por isso reescrevemos em termos de S).
    • Limites: igualdades entre PFR e CSTR ocorrendo para X\le0{,}5 fazem sentido porque S é constante aí (isto é, curva de 1/(-r) horizontal).
  • Conclusão prática: com os dados fornecidos a tecnologia, tal como sugerida, é inviável; para estudo conceitual serve para exercitar integrais e comparação PFR/CSTR, mas para projeto real seria necessário revisar taxa cinética (ou reduzir vazão ou aumentar concentração/temperatura/catalisador).

Resposta

(a) 0\le X\le 0{,}5.
(b) X\approx 3{,}0\times10^{-13} (praticamente 0\%).
(c) V_{\mathrm{PFR}}=2{,}30\times10^{11}\\ \mathrm{m^{3}} \;=\;2{,}30\times10^{14}\\ \mathrm{L}.
(d) V_{\mathrm{CSTR}}=1{,}40\times10^{11}\\ \mathrm{m^{3}} \;=\;1{,}40\times10^{14}\\ \mathrm{L}.
(e) t=2{,}4\times10^{10}\\ \mathrm{s} (aprox. 760 anos).
(f) Equações paramétricas e pontos para plotagem:
  • Para 0\le X\le0{,}5: \,V(X)=3X\times10^{11}\\ \mathrm{m^{3}},\; -r=3{,}3333\times10^{-9}\\ \mathrm{mol/(m^{3}s)}.
  • Para X>0{,}5: \,V(X)=10^{11}(1{,}25+5X^{2}-2X)\\ \mathrm{m^{3}},\; -r=\dfrac{10^{-8}}{10X-2}.
  • Pontos amostrais: (X,V,-r):
    • (0{,}00,0,3{,}333\times10^{-9}),
    • (0{,}25,7{,}5\times10^{10},3{,}333\times10^{-9}),
    • (0{,}50,1{,}5\times10^{11},3{,}333\times10^{-9}),
    • (0{,}60,1{,}85\times10^{11},2{,}5\times10^{-9}),
    • (0{,}70,2{,}30\times10^{11},2{,}0\times10^{-9}),
    • (0{,}80,2{,}85\times10^{11},1{,}6667\times10^{-9}),
    • (0{,}90,3{,}50\times10^{11},1{,}4286\times10^{-9}).
(g) Crítica: resultados indicam processos impraticáveis (volumes e tempos absurdos); suposições (fluxo volumétrico constante, sem variação de densidade, sem efeitos de temperatura/pressão/transferência) limitam validade prática.

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