\mathbf{P 2} \mathbf{-}_{\text {B }}
A reação exotérmica
\mathrm{A} \longrightarrow \mathrm{~B}+\mathrm{C}
foi conduzida adiabaticamente, e os seguintes dados foram registrados:
X 0 0,2 0,4 0,45 0,5 0,6 0,8 0,9
-r_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{mol} / \mathrm{dm}^{3} \cdot \mathrm{~min}\right) 1,0 1,67 5,0 5,0 5,0 5,0 1,25 0,91
A vazão molar de entrada de A era de 300 \mathrm{~mol} / \mathrm{min}.
Qual a conversão que pode ser alcançada se um PER de 72 \mathrm{dm}^{3} for colocado em série com um CSTR de 24 \mathrm{dm}^{3} ?

Passo 1

O enunciado dá uma reação \mathrm{A}\longrightarrow\mathrm{B}+\mathrm{C} conduzida adiabaticamente e fornece uma tabela relacionando conversão X com a velocidade de consumo de A, -r_{\mathrm{A}}, em unidades de \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{min}. A vazão molar de entrada de A é F_{A0}=300\\ \mathrm{mol}/\mathrm{min}. Foi pedido: qual a conversão final quando um PER (PFR) de volume V_{\mathrm{PFR}}=72\\ \mathrm{dm}^3 é seguido por um CSTR de volume V_{\mathrm{CSTR}}=24\\ \mathrm{dm}^3 (em série).
Valores extraídos da tabela fornecida (peguei estes dados da tabela do enunciado):
  • X=0, -r_{\mathrm{A}}=1{,}0\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{min}.
  • X=0{,}2, -r_{\mathrm{A}}=1{,}67\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{min}.
  • X=0{,}4, -r_{\mathrm{A}}=5{,}0\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{min}.
  • X=0{,}45, -r_{\mathrm{A}}=5{,}0\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{min}.
  • X=0{,}5, -r_{\mathrm{A}}=5{,}0\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{min}.
  • X=0{,}6, -r_{\mathrm{A}}=5{,}0\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{min}.
  • X=0{,}8, -r_{\mathrm{A}}=1{,}25\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{min}.
  • X=0{,}9, -r_{\mathrm{A}}=0{,}91\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{min}.
Resumo do que será feito (sem resolver ainda):
  • Usar a equação de projeto do PER (PFR) em termos de conversão para integrar V_{\mathrm{PFR}}=\int_0^{X_1}\dfrac{F_{A0}}{-r_{\mathrm{A}}(X)}\,dX e assim achar a conversão de saída X_1 do PFR.
  • Depois usar a equação do CSTR em termos de conversão V_{\mathrm{CSTR}}=\dfrac{F_{A0}(X_2-X_1)}{-r_{\mathrm{A}}(X_2)} para encontrar a conversão final X_2.
  • Para avaliar -r_{\mathrm{A}}(X) entre os pontos, usar interpolação linear (quando necessário) e aproximar integrais por trapézio nos intervalos dados na tabela.

Passo 2

Aula rápida / justificativa das fórmulas (sem pânico — é só o básico que precisa para a prova).
  • Em um fluxo líquido (volume constante) a concentração de A é proporcional ao fluxo molar: C_A=\dfrac{F_A}{v}. Se usarmos conversão X, a vazão molar de A é F_A=F_{A0}(1-X).
  • A equação diferencial de balanço para um PFR escrita em termos de conversão X dá, após separação de variáveis:
dV=\dfrac{F_{A0}}{-r_{\mathrm{A}}(X)}\,dX.
Aqui:
  • V é o volume do reator ( \mathrm{dm}^3),
  • F_{A0} é a vazão molar de entrada de A ( \mathrm{mol}/\mathrm{min}),
  • -r_{\mathrm{A}}(X) é a taxa de consumo de A por unidade de volume ( \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{min}), avaliada à concentração correspondente à conversão X.
  • Integrando de 0 até X_1 obtemos:
V_{\mathrm{PFR}}=\int_{0}^{X_1}\dfrac{F_{A0}}{-r_{\mathrm{A}}(X)}\,dX.
  • Para um CSTR, a fórmula de projeto em termos de conversão entre alimentação com conversão X_1 e saída com conversão X_2 é:
V_{\mathrm{CSTR}}=\dfrac{F_{A0}(X_2-X_1)}{-r_{\mathrm{A}}(X_2)}.
Isto vem do balanço de massa no CSTR: vazão de A consumida por tempo =V\cdot(-r_A).
Observações práticas:
  • As unidades batem: F_{A0} em \mathrm{mol}/\mathrm{min}, -r_{\mathrm{A}} em \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{min}, então F_{A0}/(-r_{\mathrm{A}}) tem unidades \mathrm{dm}^3, OK.
  • Vamos usar aproximação por trapézio para a integral do PFR usando os pontos da tabela (método simples e preciso o suficiente).

Passo 3

Cálculo do volume do PFR por integração numérica até encontrar a conversão X_1 tal que V_{\mathrm{PFR}}=72\\ \mathrm{dm}^3.
Usamos integração por trapézio por intervalos consecutivos na tabela. Em cada intervalo [X_i,X_{i+1}] aproximamos
\int_{X_i}^{X_{i+1}}\dfrac{F_{A0}}{-r_{\mathrm{A}}(X)}\,dX \approx F_{A0}\,(X_{i+1}-X_i)\cdot\frac{\dfrac{1}{r_i}+\dfrac{1}{r_{i+1}}}{2},
onde r_i=-r_{\mathrm{A}}(X_i) (usei r para simplificar).
Vamos calcular segmento a segmento (mostrando contas para poder repetir na prova). Usarei aproximações decimais com 4 casas significativas quando necessário.
Dados úteis:
F_{A0}=300\\ \mathrm{mol}/\mathrm{min}.
Segmento 1: X=0 a X=0{,}2.
\Delta X=0{,}2,\quad r_0=1{,}0,\quad r_1=1{,}67.
\text{contribuição} =300\cdot0{,}2\cdot\frac{1/1{,}0+1/1{,}67}{2} =300\cdot0{,}2\cdot\frac{1+0{,}598802}{2} \approx300\cdot0{,}2\cdot0{,}799401 \approx47{,}964\\ \mathrm{dm}^3.çã
Segmento 2: X=0{,}2 a X=0{,}4.
\Delta X=0{,}2,\quad r_1=1{,}67,\quad r_2=5{,}0.
\text{contribuição} =300\cdot0{,}2\cdot\frac{1/1{,}67+1/5{,}0}{2} =300\cdot0{,}2\cdot\frac{0{,}598802+0{,}2}{2} \approx300\cdot0{,}2\cdot0{,}399401 \approx23{,}964\\ \mathrm{dm}^3.çã
Somando os dois primeiros segmentos:
V(0\to0{,}4)\approx47{,}964+23{,}964=71{,}928\\ \mathrm{dm}^3.
Queremos V_{\mathrm{PFR}}=72\\ \mathrm{dm}^3, então falta somente
\Delta V =72-71{,}928=0{,}072\\ \mathrm{dm}^3
para alcançar o volume de 72\\ \mathrm{dm}^3.
Agora o próximo intervalo é X=0{,}4 a X=0{,}45 onde r é constante 5{,}0. Para esse intervalo:
\frac{F_{A0}}{r}= \frac{300}{5{,}0}=60\quad\text{(a unidade é \(\mathrm{dm}^3\) por unidade de \(X\)).}é
Sejam \delta X o incremento necessário neste intervalo para obter \Delta V=0{,}072:
\Delta V =60\cdot\delta X \quad\Rightarrow\quad \delta X=\frac{0{,}072}{60}=0{,}0012.
Portanto a conversão de saída do PFR é
X_1=0{,}4+0{,}0012=0{,}4012\\ \text{(aprox.)}.
Resumo desta etapa: a saída do PER (PFR) tem conversão aproximada X_1\approx0{,}4012.

Passo 4

Agora projetar o CSTR de V_{\mathrm{CSTR}}=24\\ \mathrm{dm}^3 recebendo alimentação com conversão X_1=0{,}4012. A equação de projeto do CSTR em termos de conversão é
V_{\mathrm{CSTR}}=\dfrac{F_{A0}(X_2-X_1)}{-r_{\mathrm{A}}(X_2)}.
Queremos X_2 tal que isso se verifique. Reescrevendo,
X_2 = X_1 + \dfrac{V_{\mathrm{CSTR}}}{F_{A0}}\; r(X_2),
onde r(X_2)=-r_{\mathrm{A}}(X_2). Numérica e mais direta:
\dfrac{X_2-X_1}{r(X_2)}=\dfrac{V_{\mathrm{CSTR}}}{F_{A0}}=\dfrac{24}{300}=0{,}08.
Ou seja
X_2 = X_1 +0{,}08\; r(X_2).
Isto é uma equação implícita porque r depende de X_2. Vamos resolver usando os dados da tabela com interpolação linear entre pontos.
Observação sobre a tabela: entre X=0{,}4 e X=0{,}6 a taxa r é constante e igual a 5{,}0. Se tentarmos substituir r=5 diretamente:
X_2 =0{,}4012 +0{,}08\cdot5 =0{,}4012+0{,}4=0{,}8012.
Mas para X\approx0{,}8012 a taxa não é 5{,}0 (pela tabela em X=0{,}8 temos r=1{,}25), então precisamos usar interpolação na região apropriada. Note que X_2 calculado assumindo r=5 caiu na faixa 0{,}6- 0{,}8; logo devemos usar a lei de variação linear entre X=0{,}6 e X=0{,}8.
Interpolação linear entre X=0{,}6 (r=5{,}0) e X=0{,}8 (r=1{,}25):
A inclinação é
m=\dfrac{1{,}25-5{,}0}{0{,}8-0{,}6}=\dfrac{-3{,}75}{0{,}2}=-18{,}75.
Logo, para 0{,}6\le X\le0{,}8,
r(X)=5{,}0 + m\,(X-0{,}6)=5{,}0 -18{,}75\,(X-0{,}6).
Simplificando:
r(X)=16{,}25 -18{,}75\,X.
Substituindo isso na equação implícita X= X_1 +0{,}08\,r(X) com X_1=0{,}4012:
X = 0{,}4012 +0{,}08\left(16{,}25 -18{,}75X\right).
Agora resolvemos algebricamente:
X = 0{,}4012 +1{,}3 -1{,}5X =1{,}7012 -1{,}5X.
Somando 1{,}5X dos dois lados:
2{,}5X =1{,}7012 \quad\Rightarrow\quad X=\dfrac{1{,}7012}{2{,}5}=0{,}68048\ldots
Verificação rápida: calcular r em X=0{,}68048:
r(0{,}68048)=16{,}25 -18{,}75\cdot0{,}68048 \approx16{,}25 -12{,}759\approx3{,}491.
E verificar a equação X=0{,}4012+0{,}08\cdot r:
0{,}4012+0{,}08\cdot3{,}491\approx0{,}4012+0{,}2793\approx0{,}6805,
coerente com a solução encontrada (pequenas diferenças por arredondamento).
Portanto a conversão de saída do CSTR é aproximadamente X_2\approx0{,}6805.

Resposta

X\approx0{,}6805

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