Foram coletados dados relacionando o índice de radiação solar média diária (
) e o tempo de desgaste de um material polimérico, em meses (y). Os dados estão divididos em dois grupos laboratoriais independentes:
Primeiro grupo
(radiação)
(desgaste)
Segundo grupo
(radiação)
(desgaste)
Pergunta-se:
a) Quais os coeficientes de correlação linear ® de cada grupo? (1,0 ponto)
b) Há correlação linear significativa entre as variáveis para cada grupo? (1,0 ponto)
c) Qual grupo apresenta melhor correlação? (1,0 ponto)
d) Considerando o grupo com melhor correlação, qual a predição do tempo de desgaste para uma radiação solar média de 8 unidades? (1,0 ponto)
b) Há correlação linear significativa entre as variáveis para cada grupo? (1,0 ponto)
c) Qual grupo apresenta melhor correlação? (1,0 ponto)
d) Considerando o grupo com melhor correlação, qual a predição do tempo de desgaste para uma radiação solar média de 8 unidades? (1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado dá duas amostras independentes (cada uma com
pares
) contendo a radiação média diária
e o tempo de desgaste
. As perguntas são:
- (a) Calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson
para cada grupo. - (b) Testar se existe correlação linear significativa entre
e em cada grupo. - (c) Indicar qual grupo apresenta melhor correlação (ou seja, maior
). - (d) Usando o grupo com melhor correlação, ajustar a reta de regressão linear
e predizer o tempo de desgaste para .
Dados (peguei diretamente do enunciado):
- Primeiro grupo:
, . - Segundo grupo:
, .
Passo 2
Explicando a fórmula do coeficiente de correlação linear de Pearson (a tal da “r”):
- A fórmula é
onde
é o número de pares,
é a soma dos
,
soma dos
,
soma dos produtos
,
soma dos quadrados de
, etc. Intuição rápida: o numerador mede a covariação entre
e
; o denominador normaliza pelo espalhamento de cada variável — por isso
fica entre
e
.
Agora calculamos todas as somas necessárias para o Primeiro Grupo (usei os dados do enunciado e somei termo a termo):
Substituindo na fórmula:
Logo
Interpretação didática rápida:
é muito negativo (próximo de
), o que indica uma forte relação linear decrescente entre
e
no primeiro grupo (mais radiação → menor tempo de desgaste).
Passo 3
Agora repetimos o mesmo processo para o Segundo Grupo (novamente somei os termos do enunciado):
Calculando:
Logo
Interpretação: também uma forte correlação negativa, mas em valor absoluto um pouco menor que a do primeiro grupo.
Passo 4
Agora vamos testar se cada correlação é estatisticamente significativa (a típica verificação “isso é só coincidência ou é real?”). O teste usa a estatística
que, sob
(nenhuma correlação na população), segue uma
-Student com
graus de liberdade. Para nossas amostras
temos
. O valor crítico bilateral usual para
é aproximadamente
Calculando para o Primeiro Grupo (
):
em valor absoluto muito maior que
. Então rejeitamos
: a correlação é estatisticamente significativa ao nível de
.
Para o Segundo Grupo (
):
novamente
. Também rejeitamos
: correlação significativa.
Didaticamente: apesar de ambos terem
próximos de
, sempre é bom testar; aqui ambos são fortemente significativos.
Passo 5
Comparando os valores absolutos:
Portanto o Primeiro Grupo tem a correlação linear mais forte (mais próxima de
) — ou seja, apresenta a melhor correlação linear entre radiação e desgaste.
Passo 6
Agora, considerando o grupo com melhor correlação (Primeiro Grupo), vamos ajustar a regressão linear simples para predizer
a partir de
. A fórmula dos coeficientes da reta
é:
onde
e
.
Usando as somas já calculadas para o Primeiro Grupo:
As médias são
Logo
A equação estimada fica, portanto,
Agora fazemos a predição para
:
Interpretação prática: para radiação média
, o modelo prevê cerca de
meses de desgaste.
Resposta
(a)
(b) Sim; ambos os são estatisticamente significativos (
, ambos
)
(c) O Primeiro Grupo (maior )
(d) Predição para (usando o Primeiro Grupo):
meses
(b) Sim; ambos os
(c) O Primeiro Grupo (maior
(d) Predição para