Foram coletados dados relacionando o índice de radiação solar média diária ( x ) e o tempo de desgaste de um material polimérico, em meses (y). Os dados estão divididos em dois grupos laboratoriais independentes:

Primeiro grupo

x (radiação) \rightarrow 12,15,18,21,10,14,20,22,16,19,11,13,17,23,25
y (desgaste) \rightarrow 30,28,26,24,33,29,25,23,27,24,32,30,26,22,21

Segundo grupo

x (radiação) \rightarrow 9,27,21,19,25,11,12,18,24,26,20,14,13,28,23
y (desgaste) \rightarrow 31,22,25,27,24,33,32,29,26,23,27,30,31,22,24

Pergunta-se:

a) Quais os coeficientes de correlação linear ® de cada grupo? (1,0 ponto)
b) Há correlação linear significativa entre as variáveis para cada grupo? (1,0 ponto)
c) Qual grupo apresenta melhor correlação? (1,0 ponto)
d) Considerando o grupo com melhor correlação, qual a predição do tempo de desgaste para uma radiação solar média de 8 unidades? (1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado dá duas amostras independentes (cada uma com n=15 pares (x,y)) contendo a radiação média diária x e o tempo de desgaste y. As perguntas são:
  • (a) Calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson r para cada grupo.
  • (b) Testar se existe correlação linear significativa entre x e y em cada grupo.
  • (c) Indicar qual grupo apresenta melhor correlação (ou seja, maior |r|).
  • (d) Usando o grupo com melhor correlação, ajustar a reta de regressão linear \hat{y}=a + b x e predizer o tempo de desgaste para x=8.
Dados (peguei diretamente do enunciado):
  • Primeiro grupo: x=\{12,15,18,21,10,14,20,22,16,19,11,13,17,23,25\}, y=\{30,28,26,24,33,29,25,23,27,24,32,30,26,22,21\}.
  • Segundo grupo: x=\{9,27,21,19,25,11,12,18,24,26,20,14,13,28,23\}, y=\{31,22,25,27,24,33,32,29,26,23,27,30,31,22,24\}.

Passo 2

Explicando a fórmula do coeficiente de correlação linear de Pearson (a tal da “r”):
  • A fórmula é
r=\frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{\sqrt{\bigl(n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}\bigr)\bigl(n\sum y^{2}-(\sum y)^{2}\bigr)}},
onde n é o número de pares, \sum x é a soma dos x, \sum y soma dos y, \sum xy soma dos produtos x_i y_i, \sum x^{2} soma dos quadrados de x, etc. Intuição rápida: o numerador mede a covariação entre x e y; o denominador normaliza pelo espalhamento de cada variável — por isso r fica entre -1 e 1.
Agora calculamos todas as somas necessárias para o Primeiro Grupo (usei os dados do enunciado e somei termo a termo):
n=15,
\sum x = 256,\quad \sum y = 400,
\sum xy = 6597,\quad \sum x^{2} = 4664,\quad \sum y^{2} = 10850.
Substituindo na fórmula:
\text{numerador} = n\sum xy - (\sum x)(\sum y) = 15\cdot6597 - 256\cdot400 = 98955 - 102400 = -3445.
\text{denom}_x = n\sum x^{2} - (\sum x)^{2} = 15\cdot4664 - 256^{2} = 69960 - 65536 = 4424.
\text{denom}_y = n\sum y^{2} - (\sum y)^{2} = 15\cdot10850 - 400^{2} = 162750 - 160000 = 2750.
\text{denominador} = \sqrt{4424\cdot2750} = \sqrt{12166000}\approx 3487,979.
Logo
r_{1}=\frac{-3445}{\sqrt{12166000}}\approx -0{,}9877.
Interpretação didática rápida: r_{1} é muito negativo (próximo de -1), o que indica uma forte relação linear decrescente entre x e y no primeiro grupo (mais radiação → menor tempo de desgaste).

Passo 3

Agora repetimos o mesmo processo para o Segundo Grupo (novamente somei os termos do enunciado):
n=15,
\sum x = 290,\quad \sum y = 406,
\sum xy = 7533,\quad \sum x^{2} = 6156,\quad \sum y^{2} = 11184.
Calculando:
\text{numerador} = 15\cdot7533 - 290\cdot406 = 112995 - 117740 = -4745.
\text{denom}_x = 15\cdot6156 - 290^{2} = 92340 - 84100 = 8240.
\text{denom}_y = 15\cdot11184 - 406^{2} = 167760 - 164836 = 2924.
\text{denominador} = \sqrt{8240\cdot2924} = \sqrt{24093760}\approx 4908{,}540.
Logo
r_{2}=\frac{-4745}{\sqrt{24093760}}\approx -0{,}9667.
Interpretação: também uma forte correlação negativa, mas em valor absoluto um pouco menor que a do primeiro grupo.

Passo 4

Agora vamos testar se cada correlação é estatisticamente significativa (a típica verificação “isso é só coincidência ou é real?”). O teste usa a estatística
t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^{2}}},
que, sob H_{0}:\rho=0 (nenhuma correlação na população), segue uma t-Student com n-2 graus de liberdade. Para nossas amostras n=15 temos df=13. O valor crítico bilateral usual para \alpha=0{,}05 é aproximadamente
t_{0{,}025,13}\approx 2{,}160.
Calculando para o Primeiro Grupo ( r_{1}\approx -0{,}9877):
t_{1}=\frac{-0{,}9877\sqrt{13}}{\sqrt{1-(-0{,}9877)^{2}}}\approx -22{,}1,
em valor absoluto muito maior que 2{,}160. Então rejeitamos H_{0}: a correlação é estatisticamente significativa ao nível de 5\%.
Para o Segundo Grupo ( r_{2}\approx -0{,}9667):
t_{2}=\frac{-0{,}9667\sqrt{13}}{\sqrt{1-(-0{,}9667)^{2}}}\approx -13{,}7,
novamente |t_{2}|\gg 2{,}160. Também rejeitamos H_{0}: correlação significativa.
Didaticamente: apesar de ambos terem r próximos de -1, sempre é bom testar; aqui ambos são fortemente significativos.

Passo 5

Comparando os valores absolutos:
|r_{1}|\approx 0{,}9877,\qquad |r_{2}|\approx 0{,}9667.
Portanto o Primeiro Grupo tem a correlação linear mais forte (mais próxima de -1) — ou seja, apresenta a melhor correlação linear entre radiação e desgaste.

Passo 6

Agora, considerando o grupo com melhor correlação (Primeiro Grupo), vamos ajustar a regressão linear simples para predizer y a partir de x. A fórmula dos coeficientes da reta \hat{y}=a + b x é:
b=\frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2} - (\sum x)^{2}}, \qquad a=\bar{y} - b\,\bar{x},
onde \bar{x}=\dfrac{\sum x}{n} e \bar{y}=\dfrac{\sum y}{n}.
Usando as somas já calculadas para o Primeiro Grupo:
b=\frac{-3445}{4424}\approx -0{,}7787.
As médias são
\bar{x}=\frac{256}{15}\approx 17{,}0667,\qquad \bar{y}=\frac{400}{15}\approx 26{,}6667.
Logo
a=\bar{y}-b\,\bar{x}\approx 26{,}6667 - (-0{,}7787)\cdot17{,}0667 \approx 39{,}9566.
A equação estimada fica, portanto,
\hat{y}=39{,}9566 - 0{,}7787\,x.
Agora fazemos a predição para x=8:
\hat{y}(8)=39{,}9566 - 0{,}7787\cdot 8 \approx 33{,}727.
Interpretação prática: para radiação média x=8, o modelo prevê cerca de 33{,}73 meses de desgaste.

Resposta

(a) r_{1}\approx -0{,}9877,\quad r_{2}\approx -0{,}9667
(b) Sim; ambos os r são estatisticamente significativos ( t_{1}\approx -22{,}1,\\ t_{2}\approx -13{,}7, ambos |t|\gg 2{,}160)
(c) O Primeiro Grupo (maior |r|)
(d) Predição para x=8 (usando o Primeiro Grupo): \hat{y}\approx 33{,}73 meses

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