Um fabricante testou o desempenho de uma bateria portátil. Em uma amostra de 50 unidades, encontrou tempo médio de autonomia igual a 22,5 horas, com desvio padrão de 1,8 hora.
a) Com base nesses dados, construa um intervalo de confiança de
para o tempo médio de autonomia das baterias produzidas pela empresa.
b) A empresa deseja realizar um novo estudo, utilizando o mesmo desvio padrão encontrado. O estudo deverá ter nível de confiança de
e margem de erro máxima de
do verdadeiro valor populacional. Qual o tamanho mínimo da amostra?
a) Com base nesses dados, construa um intervalo de confiança de
b) A empresa deseja realizar um novo estudo, utilizando o mesmo desvio padrão encontrado. O estudo deverá ter nível de confiança de
Passo 1
O enunciado tem duas perguntas. Dados fornecidos:
Perguntas:
- (a) Construir um intervalo de confiança de
para o tempo médio de autonomia das baterias da empresa. - (b) Determinar o tamanho mínimo da amostra para um novo estudo com nível de confiança de
, usando o mesmo desvio padrão ( ), de modo que a margem de erro máxima seja do verdadeiro valor populacional.
Passo 2
Entendendo o que usar para (a). Quando queremos um intervalo para a média populacional e não conhecemos a variância populacional (temos apenas
), o procedimento padrão é usar a distribuição
de Student. A fórmula geral do intervalo de confiança para a média é
Expliquei as variáveis:
é a média amostral,
é o quantil crítico da
com
graus de liberdade (para nível de confiança
),
é o desvio padrão amostral e
é a raiz quadrada do tamanho da amostra. Para
de confiança,
e usamos
.
Passo 3
Cálculo do intervalo (a).
- Buscar o valor crítico da
: a partir da tabela de temos aproximadamente
- Calcular o erro padrão:
Calculemos passo a passo:
. Logo
- Calcular a margem de erro:
- Construir o intervalo:
Portanto os extremos são
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
.
Interpretação curta: com de confiança, a média de autonomia das baterias está entre aproximadamente
e
horas.
Interpretação curta: com
Passo 4
Passando para (b): entender a margem de erro pedida. A empresa quer margem de erro máxima igual a
do verdadeiro valor populacional. Como o verdadeiro valor é desconhecido, usamos a média amostral como aproximação prática para converter essa porcentagem em horas. Assim:
Comentário: é prática comum usar a média piloto quando a porcentagem é relativa ao parâmetro desconhecido.
Passo 5
Escolhendo a fórmula do tamanho de amostra. Para planejar
costuma-se usar a aproximação normal (valor crítico
) com a fórmula
onde
é a estimativa do desvio padrão populacional (aqui usamos
como proxy),
é a margem de erro absoluta desejada e
é o quantil da normal padrão. Para
de confiança temos
. Expliquei: usamos
porque no planejamento de amostra é a prática padrão e porque estamos tratando
como aproximação de
.
Passo 6
Substituindo números e calculando
:
Calculemos em etapas:
Como
deve ser inteiro e devemos garantir que a margem de erro não ultrapasse o desejado, arredondamos para cima:
Observação rápida: arredondar para cima é obrigatório para manter ou reduzir a margem de erro; arredondar para baixo poderia violar a condição.