Um fabricante testou o desempenho de uma bateria portátil. Em uma amostra de 50 unidades, encontrou tempo médio de autonomia igual a 22,5 horas, com desvio padrão de 1,8 hora.
a) Com base nesses dados, construa um intervalo de confiança de 99 \% para o tempo médio de autonomia das baterias produzidas pela empresa.
b) A empresa deseja realizar um novo estudo, utilizando o mesmo desvio padrão encontrado. O estudo deverá ter nível de confiança de \mathbf{9 5 \%} e margem de erro máxima de \mathbf{0 , 4 \%} do verdadeiro valor populacional. Qual o tamanho mínimo da amostra?

Passo 1

O enunciado tem duas perguntas. Dados fornecidos:
n=50,\quad \bar{x}=22,5\\ \text{horas},\quad s=1,8\\ \text{horas}.
Perguntas:
  1. (a) Construir um intervalo de confiança de 99\% para o tempo médio de autonomia das baterias da empresa.
  2. (b) Determinar o tamanho mínimo da amostra para um novo estudo com nível de confiança de 95\%, usando o mesmo desvio padrão ( s=1,8), de modo que a margem de erro máxima seja 0,4\% do verdadeiro valor populacional.

Passo 2

Entendendo o que usar para (a). Quando queremos um intervalo para a média populacional e não conhecemos a variância populacional (temos apenas s), o procedimento padrão é usar a distribuição t de Student. A fórmula geral do intervalo de confiança para a média é
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Expliquei as variáveis: \bar{x} é a média amostral, t_{\alpha/2,\;n-1} é o quantil crítico da t com n-1 graus de liberdade (para nível de confiança 1-\alpha), s é o desvio padrão amostral e \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra. Para 99\% de confiança, \alpha=0,01 e usamos t_{0,005,\;49}.

Passo 3

Cálculo do intervalo (a).
  1. Buscar o valor crítico da t: a partir da tabela de t temos aproximadamente
t_{0,005,\;49}\approx 2,678.
  1. Calcular o erro padrão:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{1,8}{\sqrt{50}}.
Calculemos passo a passo: \sqrt{50}\approx 7,0711. Logo
\frac{1,8}{\sqrt{50}}\approx 0,2546\\ \text{horas}.
  1. Calcular a margem de erro:
E = t_{0,005,49}\cdot\frac{1,8}{\sqrt{50}}\approx 2,678\cdot 0,2546\approx 0,6819\\ \text{horas}.
  1. Construir o intervalo:
\bar{x}\pm E = 22,5\pm 0,6819.
Portanto os extremos são
22,5-0,6819\approx 21,8181\quad\text{e}\quad 22,5+0,6819\approx 23,1819.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais): (21,82\\ \text{h};\\\ 23,18\\ \text{h}).
Interpretação curta: com 99\% de confiança, a média de autonomia das baterias está entre aproximadamente 21,82 e 23,18 horas.

Passo 4

Passando para (b): entender a margem de erro pedida. A empresa quer margem de erro máxima igual a 0,4\% do verdadeiro valor populacional. Como o verdadeiro valor é desconhecido, usamos a média amostral como aproximação prática para converter essa porcentagem em horas. Assim:
0,4\%=0,004,\qquad E = 0,004\cdot \mu\approx 0,004\cdot \bar{x}=0,004\cdot 22,5=0,09\\ \text{horas}.
Comentário: é prática comum usar a média piloto quando a porcentagem é relativa ao parâmetro desconhecido.

Passo 5

Escolhendo a fórmula do tamanho de amostra. Para planejar n costuma-se usar a aproximação normal (valor crítico z) com a fórmula
n=\left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2},
onde \sigma é a estimativa do desvio padrão populacional (aqui usamos s=1,8 como proxy), E é a margem de erro absoluta desejada e z_{\alpha/2} é o quantil da normal padrão. Para 95\% de confiança temos z_{0,025}=1,96. Expliquei: usamos z porque no planejamento de amostra é a prática padrão e porque estamos tratando s como aproximação de \sigma.

Passo 6

Substituindo números e calculando n:
n=\left(\frac{1,96\cdot 1,8}{0,09}\right)^{2}.
Calculemos em etapas:
1,96\cdot 1,8=3,528.
\frac{3,528}{0,09}=39,2.
n=(39,2)^{2}=1536,64.
Como n deve ser inteiro e devemos garantir que a margem de erro não ultrapasse o desejado, arredondamos para cima:
n_{\min}=1537.
Observação rápida: arredondar para cima é obrigatório para manter ou reduzir a margem de erro; arredondar para baixo poderia violar a condição.

Resposta

(21,82\\ \text{h};\\\ 23,18\\ \text{h})
n_{\min}=1537

Exercícios relacionados