O processo de fabricação de válvulas hidráulicas exige que o diâmetro final seja exatamente \mathbf{1 , 2 0 ~ c m}. O responsável desconfia que o processo está produzindo válvulas com diâmetro diferente do especificado. Uma amostra de \mathbf{1 6} válvulas apresentou média de \mathbf{1 , 1 8 ~ c m}. Sabe-se que o desvio padrão populacional é \mathbf{0 , 0 0 6 ~ c m}. Utilizando nível de significância \boldsymbol{\alpha} \mathbf{= 0 , 0 5}, teste a hipótese do responsável pela produção.

Passo 1

O enunciado pede que testemos se o processo está produzindo válvulas com diâmetro diferente do especificado. Dados fornecidos:
\text{diâmetro especificado: } \mu_0 = 1,20\\ \text{cm}â
\text{tamanho da amostra: } n = 16
\text{média amostral: } \bar{x} = 1,18\\ \text{cm}é
\text{desvio padrão populacional: } \sigma = 0,006\\ \text{cm}ã
\text{nível de significância: } \alpha = 0,05íâ

Pergunta que o responsável fez: há evidência, ao nível \alpha=0,05, de que o diâmetro médio das válvulas é diferente de \,1,20\\ \text{cm}\,? (ou seja, testar se a média é diferente — alternativa bilateral).

Passo 2

Formulação das hipóteses (alternativa bilateral, porque a suspeita é “diferente”):
H_0:\\ \mu = 1,20
H_1:\\ \mu \neq 1,20
Expliquei: \mu é a média verdadeira do diâmetro das válvulas. A hipótese nula afirma que o processo está certo; a alternativa diz que o processo produz média diferente.

Passo 3

Escolha do teste e justificativa: como sabemos o desvio padrão populacional \sigma e assumimos que as medidas de diâmetro seguem uma distribuição aproximadamente normal (ou que o processo gera medidas com distribuição estável), usamos o teste z para a média. A estatística de teste é
Z = \frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Expliquei o que cada símbolo significa:
  • \bar{x} é a média da amostra ( 1,18 cm);
  • \mu_0 é a média sob H_0 ( 1,20 cm);
  • \sigma é o desvio padrão populacional ( 0,006 cm);
  • n é o tamanho da amostra ( 16);
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (quanto, em média, a média amostral varia).

Passo 4

Cálculo do erro padrão:
\text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0,006}{\sqrt{16}} = \frac{0,006}{4} = 0,0015.
Cálculo da estatística Z:
Z = \frac{\bar{x}-\mu_0}{\text{SE}} = \frac{1,18 - 1,20}{0,0015} = \frac{-0,02}{0,0015} = -13,333\ldots

Passo 5

Decisão pelo valor crítico: para \alpha=0,05 e teste bilateral, o valor crítico é
z_{1-\alpha/2} = z_{0,975} \approx 1,96,
logo a região de rejeição é |Z|>1,96. Aqui |Z| \approx 13,33, bem maior que 1,96. Portanto rejeitamos H_0.

Passo 6

Interpretação via p-valor: o p-valor é
\text{p-valor} = 2\Pr\big(Z \le -13{,}333\big),
que é numericamente praticamente zero (muito menor que 0,05). Isso confirma a rejeição de H_0.

Passo 7

Interpretação prática e conclusão final (tom amigável): rejeitar H_0 significa que há evidência estatística, ao nível \alpha=0,05, de que a média do diâmetro das válvulas difere de \,1,20\\ \text{cm}. Como a média amostral foi \,1,18\\ \text{cm} (menor que 1,20), a indicação é que o processo está produzindo válvulas com diâmetro menor do que o especificado — problema sério porque o desvio é muito mais do que o erro padrão. Recomendo sinalizar o processo como fora de controle e investigar causas (ajuste da máquina, matéria-prima, procedimentos).

Resposta

Rejeita-se H_0; há evidência ao nível \alpha=0,05 de que o diâmetro médio difere de 1,20\\ \text{cm} (a média amostral 1,18\\ \text{cm} indica diâmetros menores).

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