Foram feitas 36 avaliações de altura de uma planta (cm) de ocorrência no cerrado. Os resultados foram os seguintes:
120 127 132 136 139 140 141 142 160 152 160 160
127 130 136 136 140 140 142 143 148 152 160 170
127 136 135 137 140 140 142 142 148 152 165 170
a) Defina e classifique a variável em estudo.
b) Qual é a mediana das alturas das plantas?
c) Faça uma tabela de distribuição de frequências com os valores das alturas das plantas, e responda qual é a porcentagem de plantas que medem até 160 cm .

Passo 1

O enunciado dá uma lista com 36 observações das alturas (em centímetros) de plantas:
120,\;127,\;132,\;136,\;139,\;140,\;141,\;142,\;160,\;152,\;160,\;160,\\\\ 127,\;130,\;136,\;136,\;140,\;140,\;142,\;143,\;148,\;152,\;160,\;170,\\\\ 127,\;136,\;135,\;137,\;140,\;140,\;142,\;142,\;148,\;152,\;165,\;170.
As perguntas são:
a) Definir e classificar a variável em estudo.
b) Calcular a mediana das alturas das plantas.
c) Construir uma tabela de distribuição de frequências com os valores das alturas e indicar qual a porcentagem de plantas que medem até 160 cm (inclusive).
As informações relevantes fornecidas: há n=36 observações numéricas de altura (em cm), listadas acima.

Passo 2

O que significa “classificar a variável” — mini-aula prática:
  • Variável qualitativa vs. quantitativa: variável qualitativa descreve categorias (cores, espécies); quantitativa é numérica (peso, altura).
  • Quantitativa discreta vs. contínua: discreta assume contagens inteiras (número de filhos); contínua teoricamente pode assumir qualquer valor em um intervalo real (altura real, peso). Na prática, uma medida pode ser registrada com cifras arredondadas, mas a natureza física é contínua.
  • Escalas: nominal (somente categorias), ordinal (ordem mas sem distâncias iguais), intervalo (distâncias iguais, sem zero absoluto significativo), razão (razão faz sentido, existe zero absoluto).
Aplicando isso ao problema: a variável é a altura das plantas medida em centímetros. Portanto é uma variável quantitativa, de natureza contínua (altura é uma medida contínua) e na escala de razão (o zero significa ausência de altura e razões entre medidas são significativas).

Passo 3

Organização dos dados — preparar para contar frequências:
Primeiro ordenamos mentalmente os valores distintos e contabilizamos quantas vezes cada um aparece. A contagem (tally) resulta nos seguintes valores distintos e frequências absolutas f_i:
\begin{array}{lcl} 120: & f=1\\\\ 127: & f=3\\\\ 130: & f=1\\\\ 132: & f=1\\\\ 135: & f=1\\\\ 136: & f=4\\\\ 137: & f=1\\\\ 139: & f=1\\\\ 140: & f=5\\\\ 141: & f=1\\\\ 142: & f=4\\\\ 143: & f=1\\\\ 148: & f=2\\\\ 152: & f=3\\\\ 160: & f=4\\\\ 165: & f=1\\\\ 170: & f=2 \end{array}
Verificação rápida: somando todas as frequências obtemos 1+3+1+1+1+4+1+1+5+1+4+1+2+3+4+1+2=36, que confere com n=36.

Passo 4

Construindo a tabela de distribuição de frequências com frequência absoluta f_i, frequência relativa f_i/n e percentual 100\cdot f_i/n. Fórmula usada: a frequência relativa é \dfrac{f_i}{n} e o percentual é 100\cdot\dfrac{f_i}{n}.
Apresento cada linha (valores arredondados dos percentuais com duas casas decimais):
\begin{array}{lcll} \text{Altura (cm)} & f_i & \dfrac{f_i}{n} & \text{Percentual}\\[4pt] 120 & 1 & \dfrac{1}{36} & 2,78\%\\\\ 127 & 3 & \dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12} & 8,33\%\\\\ 130 & 1 & \dfrac{1}{36} & 2,78\%\\\\ 132 & 1 & \dfrac{1}{36} & 2,78\%\\\\ 135 & 1 & \dfrac{1}{36} & 2,78\%\\\\ 136 & 4 & \dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9} & 11,11\%\\\\ 137 & 1 & \dfrac{1}{36} & 2,78\%\\\\ 139 & 1 & \dfrac{1}{36} & 2,78\%\\\\ 140 & 5 & \dfrac{5}{36} & 13,89\%\\\\ 141 & 1 & \dfrac{1}{36} & 2,78\%\\\\ 142 & 4 & \dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9} & 11,11\%\\\\ 143 & 1 & \dfrac{1}{36} & 2,78\%\\\\ 148 & 2 & \dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18} & 5,56\%\\\\ 152 & 3 & \dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12} & 8,33\%\\\\ 160 & 4 & \dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9} & 11,11\%\\\\ 165 & 1 & \dfrac{1}{36} & 2,78\%\\\\ 170 & 2 & \dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18} & 5,56\% \end{array}
Essa tabela é exatamente a distribuição pedida (valores distintos de altura e suas frequências).]

Passo 5

Cálculo da mediana — mini-aula e aplicação:
  • A mediana é o valor que divide a amostra em duas metades iguais quando os dados estão ordenados.
  • Se n é ímpar, a mediana é o valor na posição \dfrac{n+1}{2}.
  • Se n é par (como aqui, n=36), a mediana é a média aritmética dos valores nas posições \dfrac{n}{2} e \dfrac{n}{2}+1. Ou seja, posições 18 e 19.
Usando a tabela cumulativa (veja cumulativos no Passo 3):
  • A posição 18 corresponde ao último valor 140 (porque a contagem acumulada chega a 18 ao terminar os 140).
  • A posição 19 corresponde ao valor 141 (o próximo, que eleva a contagem acumulada a 19).
Logo a mediana é
\text{mediana}=\frac{140+141}{2}= \frac{281}{2}=140,5\\ \text{cm}.

Passo 6

Porcentagem de plantas que medem até 160 cm (inclusive):
  • Somamos as frequências de todas as alturas \leq 160. Da tabela: acumulado até 160 é 33 observações (confira somando as frequências de 120 até 160).
  • O percentual é \dfrac{33}{36}\times 100\%=\dfrac{11}{12}\times 100\%=91{,}666\ldots\%\approx 91{,}67\%.
Interpretação prática: aproximadamente 91{,}67\% das plantas medem até 160 cm.

Resposta

a) A variável é a altura das plantas: é uma variável \textbf{quantitativa}, de natureza \textbf{contínua}í e em escala de \textbf{razão}ã.
b) Mediana =140,5\\ \text{cm}.
c) Tabela de frequências (altura — f_i f_i/n — percentual):
120 — 1 \dfrac{1}{36} 2{,}78\%
127 — 3 \dfrac{3}{36} 8{,}33\%
130 — 1 \dfrac{1}{36} 2{,}78\%
132 — 1 \dfrac{1}{36} 2{,}78\%
135 — 1 \dfrac{1}{36} 2{,}78\%
136 — 4 \dfrac{4}{36} 11{,}11\%
137 — 1 \dfrac{1}{36} 2{,}78\%
139 — 1 \dfrac{1}{36} 2{,}78\%
140 — 5 \dfrac{5}{36} 13{,}89\%
141 — 1 \dfrac{1}{36} 2{,}78\%
142 — 4 \dfrac{4}{36} 11{,}11\%
143 — 1 \dfrac{1}{36} 2{,}78\%
148 — 2 \dfrac{2}{36} 5{,}56\%
152 — 3 \dfrac{3}{36} 8{,}33\%
160 — 4 \dfrac{4}{36} 11{,}11\%
165 — 1 \dfrac{1}{36} 2{,}78\%
170 — 2 \dfrac{2}{36} 5{,}56\%
Porcentagem de plantas que medem até 160 cm (inclusive): \dfrac{33}{36}\times100\% \approx 91{,}67\%.

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