Técnicos de manutenção monitoram a vibração RMS ( \mathrm{em} \mathrm{mm} / \mathrm{s} ) de rolamentos em um conjunto de máquinas rotativas para prever falhas. Valores muito variáveis indicam problema de alinhamento ou folga. Foram coletadas 12 medições ( \mathrm{mm} / \mathrm{s} ):
Dados: 2, 10 ; 2,50 ; 2,30 ; 2,70 ; 2,40 ; 2,60 ; 2,50 ; 2,80 ; 2,20 ; 2,50 ; 2,90 ; 2,40
Calcule a média, a mediana e a moda do conjunto de dados e, em seguida, conclua quanto à simetria da distribuição.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a média, a mediana e a moda do conjunto de dados.
  • Concluir quanto à simetria (assimetria) da distribuição.
Informações fornecidas (peguei os dados do enunciado):
\{\,2,10;\;2,50;\;2,30;\;2,70;\;2,40;\;2,60;\;2,50;\;2,80;\;2,20;\;2,50;\;2,90;\;2,40\,\}
Número de observações: n=12.

Passo 2

Definição e fórmula da média (aritmética) — aula curta:
  • A média é o “valor médio” dos dados; soma-se todos os valores e divide-se pelo número de observações.
  • Fórmula: \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
onde \bar{x} é a média, n é o número de observações e x_i são os valores observados.
Vou usar essa fórmula com n=12 e os x_i dados.

Passo 3

Cálculo da soma e da média (contas mostradas passo a passo):
\sum_{i=1}^{12} x_i = 2,10+2,50+2,30+2,70+2,40+2,60+2,50+2,80+2,20+2,50+2,90+2,40
Somando (agrupando para facilitar sem calculadora):
\sum_{i=1}^{12} x_i = 29,90
Agora a média:
\bar{x}=\frac{29,90}{12}=2,4916\ldots
Arredondando para três casas decimais (prático para prova): \bar{x}\approx 2,492.

Passo 4

Definição e regra para a mediana — mini-aula:
  • A mediana é o valor central dos dados ordenados.
  • Para n ímpar: é o valor na posição \frac{n+1}{2}.
  • Para n par: é a média dos valores nas posições \frac{n}{2} e \frac{n}{2}+1.
    Vou ordenar os dados e aplicar a regra para n=12 (par).

Passo 5

Ordenando os dados (mostro explicitamente, peguei os números do enunciado):
2,10,\;2,20,\;2,30,\;2,40,\;2,40,\;2,50,\;2,50,\;2,50,\;2,60,\;2,70,\;2,80,\;2,90
Como n=12, a mediana é a média do 6^\circ e 7^\circ valores:
\text{6º valor}=2,50,\qquad \text{7º valor}=2,50ºº
Logo a mediana é
\text{mediana}=\frac{2,50+2,50}{2}=2,50.

Passo 6

Definição de moda e cálculo — mini-aula:
  • A moda é o valor que ocorre com maior frequência.
  • Faço uma tabela simples de frequências (contando nos dados ordenados):
\begin{array}{l|c} \text{Valor} & \text{Frequência} \\hline 2,10 & 1\\\\ 2,20 & 1\\\\ 2,30 & 1\\\\ 2,40 & 2\\\\ 2,50 & 3\\\\ 2,60 & 1\\\\ 2,70 & 1\\\\ 2,80 & 1\\\\ 2,90 & 1 \end{array}ê
O valor com maior frequência é 2,50 (aparece 3 vezes). Portanto a moda é 2,50.

Passo 7

Como concluir sobre a simetria (assimetria) — regra prática e aplicação:
  • Regra clássica (regra empírica): numa distribuição perfeitamente simétrica temos \text{média}=\text{mediana}=\text{moda}é.
  • Se a média < mediana, a distribuição tende a ser assimétrica à esquerda (skewness negativa); se média > mediana, tende a ser assimétrica à direita (skewness positiva).
    Aqui obtivemos:
\bar{x}\approx 2,4916\ldots,\qquad \text{mediana}=2,50,\qquad \text{moda}=2,50.
A média é ligeiramente menor que a mediana e a moda. Isso indica uma assimetria muito leve à esquerda (assimetria negativa leve). Em palavras: a distribuição é quase simétrica, com uma pequena tendência para valores um pouco menores (cauda à esquerda).

Resposta

Média: \bar{x}\approx 2,492 mm/s
Mediana: 2,50 mm/s
Moda: 2,50 mm/s
Simetria: distribuição com assimetria leve à esquerda (média ligeiramente menor que mediana/moda)

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