Foram observadas 34 famílias e anotado o “número de filhos do sexo masculino” que cada uma delas tem em uma distribuição de frequência variável discreta. Determine a variância.
Qte. de Meninos (xi)
Familias Freq. Abs. (fi)
0
2
1
6
2
10
3
12
4
4
Total
34
Obs.: A notação ^2 significa: ao quadrado.
1,18 filhos por família
1,18 filhos
por familia^2
1,09 filhos^2 por familia^2
1,09 filhos por família
| Qte. de Meninos (xi) | Familias Freq. Abs. (fi) |
| 0 | 2 |
| 1 | 6 |
| 2 | 10 |
| 3 | 12 |
| 4 | 4 |
| Total | 34 |
Passo 1
O enunciado dá a contagem do “número de meninos” por família em uma amostra de
famílias e pede para determinar a variância. Dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
Pergunta explícita: determinar a variância (o enunciado não especifica se é variância populacional ou amostral, então vou calcular a variância populacional passo a passo e depois mostrar a variância amostral, explicando a diferença).
Passo 2
O que é variância e quais fórmulas usar (aulas rápidas e práticas).
- A variância mede a dispersão dos valores em torno da média. Em linguagem simples: diz quanto, em média, os valores se afastam do valor médio.
- Para uma distribuição em classes ou valores
com frequências e total , temos: - Média (esperança empírica)
Aqui, é a média, é a frequência absoluta do valor e é o total de observações. - Valor esperado do quadrado
- Variância populacional (quando tratamos os
dados como toda população observada):
- Variância amostral (estimador não viciado, usado quando os
dados são uma amostra de uma população maior):
Observação prática: no exame, se não avisarem, verifique o contexto; muitas disciplinas de Estatística pedem a variância amostral ( ) quando os dados vêm de uma amostra. Vou calcular ambas e explicar como obter cada uma sem calculadora (usando frações e simplificações).
Passo 3
Calcular a média
.
- Primeiro calcule
: Faça as multiplicações: Somando: - O total
é . Assim, Podemos simplificar a fração dividindo por : Então a média das quantidades de meninos por família é .
Passo 4
Calcular
.
- Primeiro calcule
: Multiplicando por : Somando: - Logo
Simplificando por :
Passo 5
Calcular a variância populacional usando a fórmula
.
- Substituindo frações exatas:
Então - Para subtrair, coloque no mesmo denominador. Observe que
e Portanto - A fração
não simplifica mais (nenhum fator inteiro comum). Em decimal: Interpretação: a variância populacional é aproximadamente (unidade: filhos ao quadrado por família ao quadrado — no jargão, dizemos “filhos^2 por família^2” como unidade da variância).
Passo 6
Calcular a variância amostral
(caso queiram o estimador não-viciado: dividir por
em vez de
).
- Relação simples:
Podemos calcular numericamente: Arredondando para duas casas decimais (formato local com vírgula): . - Observação prática para prova: se o enunciado fala “determine a variância” sem especificar e os dados são uma amostra (não toda a população), muitos professores esperam
(dividindo por ). Se esperam a variância da distribuição observada (tratando os como a população observada), usam (dividindo por ). Aqui: - Variância populacional exata:
. - Variância amostral (estimador não-viciado), aproximada:
, que arredonda para .
- Variância populacional exata: