Foram observadas 34 famílias e anotado o “número de filhos do sexo masculino” que cada uma delas tem em uma distribuição de frequência variável discreta. Determine a variância.
Qte. de Meninos (xi) Familias Freq. Abs. (fi)
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
Total 34
Obs.: A notação ^2 significa: ao quadrado.
\bigcirc 1,18 filhos por família
\bigcirc 1,18 filhos { }^{\wedge} 2 por familia^2
\bigcirc 1,09 filhos^2 por familia^2
\bigcirc 1,09 filhos por família

Passo 1

O enunciado dá a contagem do “número de meninos” por família em uma amostra de 34 famílias e pede para determinar a variância. Dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c} x_i & f_i\\hline 0 & 2\\\\ 1 & 6\\\\ 2 & 10\\\\ 3 & 12\\\\ 4 & 4\\hline \text{Total} & 34 \end{array}
Pergunta explícita: determinar a variância (o enunciado não especifica se é variância populacional ou amostral, então vou calcular a variância populacional passo a passo e depois mostrar a variância amostral, explicando a diferença).

Passo 2

O que é variância e quais fórmulas usar (aulas rápidas e práticas).
  • A variância mede a dispersão dos valores em torno da média. Em linguagem simples: diz quanto, em média, os valores se afastam do valor médio.
  • Para uma distribuição em classes ou valores x_i com frequências f_i e total N=\sum f_i, temos:
    • Média (esperança empírica)
    \bar{x}=\frac{1}{N}\sum_i f_i x_i.Aqui, \bar{x} é a média, f_i é a frequência absoluta do valor x_i e N é o total de observações.
    • Valor esperado do quadrado
    E[X^2]=\frac{1}{N}\sum_i f_i x_i^2.
    • Variância populacional (quando tratamos os N dados como toda população observada):
    \sigma^2 = E[X^2] - \bigl(\bar{x}\bigr)^2.
    • Variância amostral (estimador não viciado, usado quando os N dados são uma amostra de uma população maior):
    s^2 = \frac{N}{N-1}\,\sigma^2.Observação prática: no exame, se não avisarem, verifique o contexto; muitas disciplinas de Estatística pedem a variância amostral ( s^2) quando os dados vêm de uma amostra. Vou calcular ambas e explicar como obter cada uma sem calculadora (usando frações e simplificações).

Passo 3

Calcular a média \bar{x}.
  • Primeiro calcule \sum f_i x_i: \sum f_i x_i = 0\cdot 2 + 1\cdot 6 + 2\cdot 10 + 3\cdot 12 + 4\cdot 4.Faça as multiplicações: 0\cdot 2 = 0,\quad 1\cdot 6 = 6,\quad 2\cdot 10 = 20,\quad 3\cdot 12 = 36,\quad 4\cdot 4 = 16.Somando: \sum f_i x_i = 0 + 6 + 20 + 36 + 16 = 78.
  • O total N é 34. Assim, \bar{x}=\frac{78}{34}.Podemos simplificar a fração dividindo por 2: \bar{x}=\frac{39}{17}\approx 2{,}2941176\ldotsEntão a média das quantidades de meninos por família é \bar{x}=\dfrac{39}{17}.

Passo 4

Calcular E[X^2]=\dfrac{1}{N}\sum f_i x_i^2.
  • Primeiro calcule \sum f_i x_i^2: x_i^2:\quad 0^2=0,\;1^2=1,\;2^2=4,\;3^2=9,\;4^2=16.Multiplicando por f_i: 0\cdot 2 =0,\;1\cdot 6=6,\;4\cdot10=40,\;9\cdot12=108,\;16\cdot4=64.Somando: \sum f_i x_i^2 = 0+6+40+108+64 = 218.
  • Logo E[X^2]=\frac{218}{34}.Simplificando por 2: E[X^2]=\frac{109}{17}\approx 6{,}4117647\ldots

Passo 5

Calcular a variância populacional usando a fórmula \sigma^2 = E[X^2] - (\bar{x})^2.
  • Substituindo frações exatas: E[X^2]=\frac{109}{17},\qquad \bar{x}=\frac{39}{17}.Então \sigma^2 = \frac{109}{17} - \left(\frac{39}{17}\right)^2.
  • Para subtrair, coloque no mesmo denominador. Observe que \frac{109}{17} = \frac{109\cdot 17}{17\cdot 17}=\frac{1853}{289} e \left(\frac{39}{17}\right)^2=\frac{39^2}{17^2}=\frac{1521}{289}.Portanto \sigma^2 = \frac{1853}{289} - \frac{1521}{289} = \frac{332}{289}.
  • A fração \dfrac{332}{289} não simplifica mais (nenhum fator inteiro comum). Em decimal: \sigma^2 = \frac{332}{289}\approx 1{,}148443\ldotsInterpretação: a variância populacional é aproximadamente 1{,}1484 (unidade: filhos ao quadrado por família ao quadrado — no jargão, dizemos “filhos^2 por família^2” como unidade da variância).

Passo 6

Calcular a variância amostral s^2 (caso queiram o estimador não-viciado: dividir por N-1 em vez de N).
  • Relação simples: s^2 = \frac{N}{N-1}\,\sigma^2 = \frac{34}{33}\cdot\frac{332}{289}.Podemos calcular numericamente: s^2 \approx \frac{34}{33}\cdot 1{,}148443\ldots \approx 1{,}1835\ldotsArredondando para duas casas decimais (formato local com vírgula): s^2\approx 1{,}18.
  • Observação prática para prova: se o enunciado fala “determine a variância” sem especificar e os dados são uma amostra (não toda a população), muitos professores esperam s^2 (dividindo por N-1). Se esperam a variância da distribuição observada (tratando os 34 como a população observada), usam \sigma^2 (dividindo por N). Aqui:
    • Variância populacional exata: \dfrac{332}{289}\approx 1{,}1484.
    • Variância amostral (estimador não-viciado), aproximada: 1{,}1835, que arredonda para 1{,}18.

Resposta

1,18\\ \text{filhos}^2\\ \text{por família}^2í

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