Lançam-se dois dados perfeitos. X indica o número obtido no primeiro dado e Y o maior ou o número comum nos dois dados.
(a) Escreva por meio de uma tabela de dupla entrada a distribuição conjunta de X e Y.
(b) As duas variáveis são independentes? Por quê?
(c) Calcule as esperanças e variâncias de X e Y.
(d) Calcule a covariância entre X e Y.
(e) Calcule E(X+Y).
(f) Calcule \operatorname{Var}(X+Y).
Passo 1
O enunciado diz que lançam-se dois dados perfeitos (independentes, cada face com probabilidade igual). Denotamos por X o número obtido no primeiro dado e por Y o número maior entre os dois dados (ou o número comum, se forem iguais). O exercício pede, em partes:
(a) a distribuição conjunta de (X,Y) em forma de tabela de dupla entrada;
(b) se X e Y são independentes (justificar);
(c) as esperanças e variâncias de X e de Y;
(d) a covariância entre X e Y;
(e) E(X+Y);
(f) \operatorname{Var}(X+Y).
Informações relevantes dadas pelo enunciado (resumindo):
O espaço amostral dos dois dados tem 6\times6=36 resultados equiprováveis.
X\in\{1,2,3,4,5,6\}.
Y=\max\{\text{primeiro dado},\text{segundo dado}\}\in\{1,2,3,4,5,6\}.
A partir daqui vamos construir a distribuição conjunta e calcular todas as quantidades pedidas, passo a passo e explicando as fórmulas que usamos.
Passo 2
Construir a distribuição conjunta [P(X=x,Y=y)). Primeiro raciocínio elemental e intuitivo (vamo que vamo!):
Se y<x então P(X=x,Y=y)=0, porque Y é o máximo e não pode ser menor que o valor do primeiro dado X.
Se y=x: o máximo é x. Isso acontece quando o primeiro dado vale x e o segundo dado vale qualquer valor em \{1,2,\dots,x\} (ou seja, não pode ser maior que x). Como os lançamentos são independentes e cada face tem probabilidade 1/6, temosP(X=x,Y=x)=P(\text{primeiro}=x)\cdot P(\text{segundo}\le x)=\frac{1}{6}\cdot\frac{x}{6}=\frac{x}{36}.Aqui usei que P(\text{segundo}\le x)=x/6 porque existem x faces dentre 6 possíveis.
Se y>x: para que o máximo seja y com X=x (menor que y), é necessário que o segundo dado valha exatamente y. EntãoP(X=x,Y=y)=P(\text{primeiro}=x)\cdot P(\text{segundo}=y)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}.
Podemos resumir a distribuição conjunta (para x,y\in\{1,\dots,6\}) por:
para y=1,\dots,6. (Veja que para y=1 dá 1/36, para y=6 dá 11/36, e as somas dão 1.)
Passo 4
Resposta à pergunta (b): independência?
Para variáveis independentes deveríamos ter, para todo x,y,
P(X=x,Y=y)=P(X=x)\,P(Y=y).
Tomemos um contraexemplo direto: x=1,y=1.
P(X=1,Y=1)=\tfrac{1}{36} (pela tabela ou pela fórmula x/36 quando y=x).
P(X=1)P(Y=1)=\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{36}=\tfrac{1}{216}.
Como \tfrac{1}{36}\ne\tfrac{1}{216}, a igualdade falha. Logo X e Y não são independentes.
Intuição: saber que X vale certo número altera a chance de o máximo ser um valor específico (se X já é grande, é mais provável que Y seja grande), portanto dependência.
Fora da diagonal (y>x): cada par x<y tem probabilidade 1/36, então\sum_{x=1}^6\sum_{y=x+1}^6 x y\cdot\frac{1}{36}=\frac{1}{36}\sum_{1\le x<y\le6} x y.E usamos a identidade\sum_{1\le i<j\le6} i j=\frac{\bigl(\sum_{i=1}^6 i\bigr)^2-\sum_{i=1}^6 i^2}{2}=\frac{21^2-91}{2}=175.Assim a contribuição fora da diagonal é \dfrac{175}{36}.