Lançam-se dois dados perfeitos. X indica o número obtido no primeiro dado e Y o maior ou o número comum nos dois dados.
(a) Escreva por meio de uma tabela de dupla entrada a distribuição conjunta de X e Y.
(b) As duas variáveis são independentes? Por quê?
(c) Calcule as esperanças e variâncias de X e Y.
(d) Calcule a covariância entre X e Y.
(e) Calcule E(X+Y).
(f) Calcule \operatorname{Var}(X+Y).

Passo 1

O enunciado diz que lançam-se dois dados perfeitos (independentes, cada face com probabilidade igual). Denotamos por X o número obtido no primeiro dado e por Y o número maior entre os dois dados (ou o número comum, se forem iguais). O exercício pede, em partes:
(a) a distribuição conjunta de (X,Y) em forma de tabela de dupla entrada;
(b) se X e Y são independentes (justificar);
(c) as esperanças e variâncias de X e de Y;
(d) a covariância entre X e Y;
(e) E(X+Y);
(f) \operatorname{Var}(X+Y).
Informações relevantes dadas pelo enunciado (resumindo):
  • O espaço amostral dos dois dados tem 6\times6=36 resultados equiprováveis.
  • X\in\{1,2,3,4,5,6\}.
  • Y=\max\{\text{primeiro dado},\text{segundo dado}\}\in\{1,2,3,4,5,6\}.
    A partir daqui vamos construir a distribuição conjunta e calcular todas as quantidades pedidas, passo a passo e explicando as fórmulas que usamos.

Passo 2

Construir a distribuição conjunta [P(X=x,Y=y)). Primeiro raciocínio elemental e intuitivo (vamo que vamo!):
  • Se y<x então P(X=x,Y=y)=0, porque Y é o máximo e não pode ser menor que o valor do primeiro dado X.
  • Se y=x: o máximo é x. Isso acontece quando o primeiro dado vale x e o segundo dado vale qualquer valor em \{1,2,\dots,x\} (ou seja, não pode ser maior que x). Como os lançamentos são independentes e cada face tem probabilidade 1/6, temos P(X=x,Y=x)=P(\text{primeiro}=x)\cdot P(\text{segundo}\le x)=\frac{1}{6}\cdot\frac{x}{6}=\frac{x}{36}.Aqui usei que P(\text{segundo}\le x)=x/6 porque existem x faces dentre 6 possíveis.
  • Se y>x: para que o máximo seja y com X=x (menor que y), é necessário que o segundo dado valha exatamente y. Então P(X=x,Y=y)=P(\text{primeiro}=x)\cdot P(\text{segundo}=y)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}.
Podemos resumir a distribuição conjunta (para x,y\in\{1,\dots,6\}) por:
P(X=x,Y=y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x}{36}, & y=x,\\[6pt] \displaystyle \frac{1}{36}, & y>x,\\[6pt] 0, & y<x. \end{cases}
Para visualização, a tabela 6\times6\] com linhas \(X=1,\dots,6 e colunas Y=1,\dots,6 tem entradas:
\begin{array}{c|cccccc} P(X=x,Y=y) & y=1 & y=2 & y=3 & y=4 & y=5 & y=6\\hline x=1 & \tfrac{1}{36} & \tfrac{1}{36} & \tfrac{1}{36} & \tfrac{1}{36} & \tfrac{1}{36} & \tfrac{1}{36}\\\ x=2 & 0 & \tfrac{2}{36} & \tfrac{1}{36} & \tfrac{1}{36} & \tfrac{1}{36} & \tfrac{1}{36}\\\ x=3 & 0 & 0 & \tfrac{3}{36} & \tfrac{1}{36} & \tfrac{1}{36} & \tfrac{1}{36}\\\ x=4 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{4}{36} & \tfrac{1}{36} & \tfrac{1}{36}\\\ x=5 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{5}{36} & \tfrac{1}{36}\\\ x=6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{6}{36}\\\ \end{array}
Confira mentalmente: cada entrada é não negativa e a soma de todas as 36 entradas é 1 (é uma boa checagem rápida).]

Passo 3

Marginais e verificação de independência (passo intermediário para (b)).
  • Marginal de X:
    X é apenas o valor do primeiro dado, portanto
    P(X=x)=\frac{1}{6},\qquad x=1,\dots,6.
    Explicação: ignoramos o segundo dado (somamos sobre y), mas o primeiro dado é uniforme.
  • Marginal de Y (distribuição do máximo). Uma forma limpa é usar a função de distribuição acumulada:
    P(Y\le y)=P(\text{primeiro}\le y,\\ \text{segundo}\le y)=\left(\frac{y}{6}\right)^2,
    porque ambos os dados devem ser \le y, e eventos independentes multiplicam as probabilidades. Assim a probabilidade pontual é
    P(Y=y)=P(Y\le y)-P(Y\le y-1)=\frac{y^2-(y-1)^2}{36}=\frac{2y-1}{36},
    para y=1,\dots,6. (Veja que para y=1 1/36, para y=6 11/36, e as somas dão 1.)

Passo 4

Resposta à pergunta (b): independência?
Para variáveis independentes deveríamos ter, para todo x,y,
P(X=x,Y=y)=P(X=x)\,P(Y=y).
Tomemos um contraexemplo direto: x=1,y=1.
  • P(X=1,Y=1)=\tfrac{1}{36} (pela tabela ou pela fórmula x/36 quando y=x).
  • P(X=1)P(Y=1)=\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{36}=\tfrac{1}{216}.
    Como \tfrac{1}{36}\ne\tfrac{1}{216}, a igualdade falha. Logo X e Y não são independentes.
Intuição: saber que X vale certo número altera a chance de o máximo ser um valor específico (se X já é grande, é mais provável que Y seja grande), portanto dependência.

Passo 5

Cálculo de E[X] e \operatorname{Var}(X).
  • E[X]: para um dado justo com faces 1 a 6,
    E[X]=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}.
    Explicando a fórmula: esperança é a soma de x\cdot P(X=x).
  • E[X^2]: usamos
    E[X^2]=\frac{1^2+2^2+\dots+6^2}{6}=\frac{91}{6}.
    (Soma dos quadrados 1^2+\dots+6^2=91.)
  • Variância:
    \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2=\frac{91}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2=\frac{35}{12}.
    Pequena verificação: \frac{35}{12}\approx2{,}9167.

Passo 6

Cálculo de E[Y] e \operatorname{Var}(Y) usando P(Y=y)=\dfrac{2y-1}{36}.
  • E[Y]:
    E[Y]=\sum_{y=1}^{6} y\cdot P(Y=y)=\sum_{y=1}^{6} y\cdot\frac{2y-1}{36}=\frac{1}{36}\sum_{y=1}^{6} (2y^2-y).
    Calculando as somas conhecidas \sum y=21 e \sum y^2=91, obtemos
    \sum_{y=1}^{6}(2y^2-y)=2\cdot91-21=161,
    logo
    E[Y]=\frac{161}{36}.
  • E[Y^2]:
    E[Y^2]=\sum_{y=1}^{6} y^2\cdot\frac{2y-1}{36}=\frac{1}{36}\sum_{y=1}^{6}(2y^3-y^2).
    Usamos \sum_{y=1}^6 y^3=(1+\dots+6)^2=21^2=441 e \sum y^2=91, então
    \sum(2y^3-y^2)=2\cdot441-91=791,
    assim
    E[Y^2]=\frac{791}{36}.
  • Variância de Y:
    \operatorname{Var}(Y)=E[Y^2]-\bigl(E[Y]\bigr)^2=\frac{791}{36}-\left(\frac{161}{36}\right)^2.
    Colocando sobre denominador comum 1296 obtemos
    \operatorname{Var}(Y)=\frac{2555}{1296}\approx1{,}9725.

Passo 7

Cálculo de E[XY] e, a seguir, da covariância.
Usamos a distribuição conjunta calculada no Passo 2:
E[XY]=\sum_{x=1}^6\sum_{y=1}^6 x y\,P(X=x,Y=y).
Separe em duas partes: termos com y=x e termos com y>x.
  • Diagonal y=x: contribuição \sum_{x=1}^6 x\cdot x\cdot\frac{x}{36}=\frac{1}{36}\sum_{x=1}^6 x^3=\frac{441}{36}.
  • Fora da diagonal ( y>x): cada par x<y tem probabilidade 1/36, então \sum_{x=1}^6\sum_{y=x+1}^6 x y\cdot\frac{1}{36}=\frac{1}{36}\sum_{1\le x<y\le6} x y.E usamos a identidade \sum_{1\le i<j\le6} i j=\frac{\bigl(\sum_{i=1}^6 i\bigr)^2-\sum_{i=1}^6 i^2}{2}=\frac{21^2-91}{2}=175.Assim a contribuição fora da diagonal é \dfrac{175}{36}.
Soma total:
E[XY]=\frac{441+175}{36}=\frac{616}{36}=\frac{154}{9}.
Agora a covariância:
\operatorname{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=\frac{154}{9}-\frac{7}{2}\cdot\frac{161}{36}.
Colocando em denominador comum chegamos a
\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{35}{24}\approx1{,}45833.

Passo 8

Cálculo de E(X+Y) e \operatorname{Var}(X+Y).
  • Esperança da soma (linearidade da esperança):
    E(X+Y)=E[X]+E[Y]=\frac{7}{2}+\frac{161}{36}=\frac{287}{36}\approx7{,}9722.
  • Variância da soma (usar \operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)):
    Temos \operatorname{Var}(X)=\dfrac{35}{12}, \operatorname{Var}(Y)=\dfrac{2555}{1296}, \operatorname{Cov}(X,Y)=\dfrac{35}{24}. Portanto
    \operatorname{Var}(X+Y)=\frac{35}{12}+\frac{2555}{1296}+2\cdot\frac{35}{24}.
    Note que 2\cdot\frac{35}{24}=\frac{35}{12}, então
    \operatorname{Var}(X+Y)=\frac{35}{12}+\frac{2555}{1296}+\frac{35}{12}=\frac{10115}{1296}\approx7{,}8034.

Resposta

(a) P(X=x,Y=y)=\begin{cases}\dfrac{x}{36},&y=x,\\[4pt]\dfrac{1}{36},&y>x,\\[4pt]0,&y<x,\end{cases} para x,y\in\{1,\dots,6\}.
(b) Não.
(c) E[X]=\dfrac{7}{2},\quad \operatorname{Var}(X)=\dfrac{35}{12}.
\displaystyle E[Y]=\dfrac{161}{36},\quad \operatorname{Var}(Y)=\dfrac{2555}{1296}.
(d) \operatorname{Cov}(X,Y)=\dfrac{35}{24}.
(e) E(X+Y)=\dfrac{287}{36}.
(f) \operatorname{Var}(X+Y)=\dfrac{10115}{1296}.]

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