Foram realizados experimentos com dois catalisadores num laboratório para verificar o efeito desses catalisadores no rendimento de certa reação química. Experimentos passados afirmam que o tempo médio e a variância de reação química dos catalisadores A e B são respectivamente: 118 \mathrm{~s} ; 70 \mathrm{~s}^{2} e 120 \mathrm{~s} ; 50 \mathrm{~s}^{2}. Amostras foram obtidas para a dos tempos (em segundos) de reação, dos dois catalisadores:
Catalisador A: 120; 132; 123; 122; 140; 110; 120; 107
Catalisador B: 126; 124; 116; 125; 109; 130; 125; 117; 129; 120.
Supondo que os tempos sejam aproximadamente normais, verifique, ao nível de significância de 5 \%, se as afirmações sobre a média e variância são verdadeiras.

Passo 1

Resumindo o enunciado: para cada catalisador (A e B) temos afirmações sobre a média \mu e a variância \sigma^2 dos tempos de reação, segundo experimentos passados:
Catalisador A: \mu_0=118 s e \sigma_0^2=70 s ^2.
Catalisador B: \mu_0=120 s e \sigma_0^2=50 s ^2.
Com amostras de tamanhos n_A=8 e n_B=10, assumimos normalidade e vamos:
  1. testar \sigma^2=\sigma_0^2 via teste qui-quadrado bidirecional;
  2. testar \mu=\mu_0 via teste z (variância populacional considerada conhecida).

Passo 2

Catalisador A – cálculo de estatísticas amostrais.
Temos dados x_i: 120, 132, 123, 122, 140, 110, 120, 107.
A média amostral é
\bar x_A = \frac{1}{8}\sum_{i=1}^8 x_i = \frac{974}{8} = 121{,}75\text{ s}.
A soma dos quadrados dos desvios é
\sum_{i=1}^8 (x_i-\bar x_A)^2 = 801{,}5,
logo a variância amostral é
s_A^2 = \frac{801{,}5}{8-1} = 114{,}5\text{ s}^2.

Passo 3

Catalisador A – teste da variância \sigma^2=70 s ^2.
Estatística
\chi^2 = \frac{(n_A-1)\,s_A^2}{\sigma_0^2} = \frac{7\cdot114{,}5}{70} = 11{,}45,
graus de liberdade 7. Para \alpha=0{,}05 bidirecional, os valores críticos são
\chi^2_{0{,}025,7}\approx2{,}17, \quad \chi^2_{0{,}975,7}\approx14{,}07.
Como
2{,}17 < 11{,}45 < 14{,}07,
não rejeitamos H_0. A variância amostral está compatível com 70 s ^2.

Passo 4

Catalisador A – teste da média \mu=118 s.
Usando \sigma_0=\sqrt{70}\approx8{,}367,
z = \frac{\bar x_A - 118}{\sigma_0/\sqrt{8}} = \frac{121{,}75 - 118}{8{,}367/\sqrt8} \approx \frac{3{,}75}{2{,}959} \approx1{,}27.
Intervalo crítico para \alpha=0{,}05 bidirecional: \pm1{,}96. Como |1{,}27|<1{,}96, não rejeitamos H_0. A média amostral é compatível com 118 s.

Passo 5

Catalisador B – cálculo de estatísticas amostrais.
Dados y_i: 126, 124, 116, 125, 109, 130, 125, 117, 129, 120.
\bar y_B = \frac{1221}{10} = 122{,}1\text{ s}, \quad \sum_{i=1}^{10}(y_i-\bar y_B)^2 = 384{,}9,
s_B^2 = \frac{384{,}9}{10-1} = 42{,}7667\text{ s}^2.

Passo 6

Catalisador B – teste da variância \sigma^2=50 s ^2.
\chi^2 = \frac{9\cdot42{,}7667}{50} = 7{,}698,
com 9 graus de liberdade. Valores críticos para \alpha=0{,}05 bidirecional:
\chi^2_{0{,}025,9}\approx2{,}70, \quad \chi^2_{0{,}975,9}\approx19{,}02.
Como
2{,}70 < 7{,}698 < 19{,}02,
não rejeitamos H_0. A variância amostral é compatível com 50 s ^2.

Passo 7

Catalisador B – teste da média \mu=120 s.
Usando \sigma_0=\sqrt{50}\approx7{,}071,
z = \frac{122{,}1 - 120}{7{,}071/\sqrt{10}} \approx \frac{2{,}1}{2{,}236} \approx 0{,}94.
Como |0{,}94|<1{,}96, não rejeitamos H_0. A média amostral é compatível com 120 s.

Resposta

Para ambos os catalisadores, ao nível de significância de 5\%, não rejeitamos nem as hipóteses sobre a variância nem as hipóteses sobre a média. As afirmações passadas são consistentes com os dados amostrais.

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